介紹構造「新數列」求原數列通項的方法簡捷實用。
一、型如(為常數且，)的數列，其本身並不是等差或等比數列，但可以經過適當的變形後，即可構造出乙個新數列，利用這個數列可求其通項公式。
1、(為常數)，可構造等比數列求解。
例1、已知數列的遞推關係為，且，求通項。
解：∵，∴，令，則數列是公比為2的等比數列，∴，即，∴。
例2、已知數列滿足，（），求通項。
解：由，得，又，所以數列是首項為，公比為的等比數列，∴。
注：一般地，遞推關係式(p、q為常數，且p≠0，p≠1)可等價地改寫成，則{}為等比數列，從而可求。
2、為等比數列，可構造等差數列、等比數列求解。如(為常數) ，兩邊同除以，得，令，則可轉化為的形式求解。
例3、已知數列中，，，求通項。
解：由條件，得，令，則，即，又，，∴數列為等比數列，故有
，即， ∴。
例4、已知數列滿足，，求通項。
解：由條件，得，即，故數列是以為首項，以為公差的等差數列， ∴， 故。
例3、已知數列的前項和與的關係是，其中b是與n無關的常數，且，，求（用n和b表示）。
解：首先由公式：，得，（），，
，…，，
∴，∴。例5. 已知b≠0，b≠±1，，寫出用n和b表示an的通項公式。
解：將已知遞推式兩邊乘以，得，又設，於是，原遞推式化為，仿型別三，可解得，故。
3、為等差數列，如型遞推式，可構造等比數列求解。
例5、已知數列滿足，（），求
解：令，則，∴，代入已知條件，
得，即，
令，，解得=－4， =6，所以，且，
∴是以3為首項、以為公比的等比數列，故，故。
注：此例通過引入一些尚待確定的係數，轉化命題結構，經過變形與比較，把問題轉化成基本數列（等差或等比數列）求解。
例6、在數列中，，，求通項。
解：由，得，令，
比較係數可得：a=－6，b=9，令，則有，又，∴是首項為，公比為的等比數列，所以，故。
4、為非等差、非等比數列，可構造等差、等比數列求解。
法一、構造等差數列求解：
例7、在數列中，，其中，求數列的通項公式。
解：由條件可得，∴數列是首項為0，公差為1的等差數列，故，∴。
例8、在數列中，，求通項。
解：由條件可得：，∴數列是首項為，公差為2的等差數列，∴。
法二、構造等比數列求解：
例9、已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：設，將已知條件代入此式，整理後得
，令，解得，
∴有，又，
且，故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，∴，故。
二、形如的復合數列，可先構造等差數列或等比數列，再用疊加法、疊乘法、迭代法等方法求解。
例1、⑴在數列中，，，求。
⑵在數列中，，，，求。
解：⑴由條件∴故，再疊加法可得：。
⑵由條件可得，∴ 數列是以為首項，以為公比的等比數列，∴，
故==…===。
例2、已知數列滿足，，（），求。
解：由已知可得：，又，所以數列
是首項為、公比為的等比數列，∴，
即，亦即，又，∴數列是首項為2、公差為6的等差數列，∴，∴。
三、一些較為特殊的數列，可利用「取倒數」的方法構造等差數列或等比數列求解。
例1、已知數列中，，（），，求。
解：由已知，得，設，則，故是以為首項，1為公差的等差數列，∴，即。
例2、已知數列，其中，且，求通項a n。
解：由條件得：，設，則，
令，解得，於是有，
∴數列是乙個以為首項，公比是－3的等比數列，
∴，即，代入bn＝，得。
例3、設正數數列（）滿足： =，
且，求的通項公式.
解：將原式兩邊同除以整理得：，設=，
則，故有，又，∴數列是首項為2，公比為2的等比數列，∴，即=，∴（），
逐項相乘得： =，考慮到，
故。 例4、若數列中，，是數列的前項之和，且（n），求數列的通項公式是.
解：由，得，令，
則有，故，∴數列{}是以為首項，3為公比的等比數列，∴=，∴，當n時，由（）
得，∴。
四、對某些特殊的數列，可利用特徵方程構造等差數列或等比數列求解。
如滿足（a，b，c，d為常數，且）的數列，可令特徵方程為，變形為，若方程有二異根，則可令（為待定常數），則數列是首項為，公比為的等比數列；若方程有二重根，則可令（為待定常數），則數列是首項為，公差為的等差數列。然後代入的值可求得值，於是可求得。
例1、已知數列滿足，求數列的通項。
解：令，化簡得，解得，令，
由，得，可得，∴數列是以為首項，以為公比的等比數列，，解得。
例2、已知數列滿足，求數列的通項
解：令，即，解得，令，由得，求得，∴數列是以為首項，以為公差的等差數列，∴，故。
注：令，則方程的根，即為函式的不動點（滿足的值叫做函式的不動點），因此，「特徵根法」也叫「函式的不動點法」。
五、其它特殊數列的特殊構造方法
1、通過取對數來構造新的數列求解。
例1、若數列中， =3且（n是正整數），則它的通項公式是=▁▁.
解由題意知＞0，將兩邊取對數得，即，所以數列是以=為首項，公比為2的等比數列，，即.
例2、設在數列中，，求的通項公式。
解：將原式變形為……①，……②，
①÷②得：，即……③，
令………④，則③式可化為，則數列是以
b1＝為首項、公比為2的等比數列，於是，代入④式得：＝，
解得。2、通過換元來構造新的數列求解。
例3、數列中，，。求。
分析：本題的難點是已知遞推關係式中的較難處理，可構建新數列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，將通項進行轉化，便於化簡變形。
解：，則， ，即，則原條件可化為，化簡得，即，
變形得，∴數列是以為首項，為公比的等比數列，∴，即，∴。
例4、數列中，， ，求。
解：易知，構建新數列，使，，
則，∴，由此可得。
又，由已知求得，從而，因此，新數列是以為首項，為公比的等比數列，∴，故。
注：此題利用遞推式中含有及這兩個資訊，考慮進行三角代換，構建新數列，使，從而化簡遞推關係式。一般地，對型如，，的型別都可採用三角代換。
3、通過建構函式求解。對於某些較複雜的遞推式，通過分析結構，聯想到與該遞推式結構相同或相近的函式，建構函式求解。
例5、在數列中，，求通項。
解：題中所給遞推式與公式相似，故可建構函式求解。
設，則，同理，，，…，即，，，，猜想，下面用數學歸納法加以證明（證明略）。
由於即，解得，於是。
4、對於兩個數列的復合問題，也可構造等差或等比數列求解。
例、在數列{}、{}中，，且（n∈），求{}、{}的通項公式。
解：構造新數列{}，則
=+=，
令，得=或=5 ，∴數列{}是首項，q=+5的等比數列，即：當=－3時，{}是首項為=，q=5+ =2的等比數列，故==； 當=5時，{}是首項為=6，q=+5=10的等比數列，故=6×，
聯立二式，得，解得，。
注1：並不是任何數列都可以求出其通項的，能夠求出通項的只是一些特殊的數列。例如數列1，1.4，1.41，1.414，……就沒有通項公式；
注2：同乙個數列的通項公式的形式不一定唯一。例如數列－1，1，－1，1，…，其通項公式為，或；
注3：數列是函式概念的繼續和延伸，數列中數的有序性是數列定義的靈魂，要注意辨析數列中的項與數集中元素的異同，因此在研究數列問題時既要注意函式方法的普遍性，又要注意數列方法的特殊性。從上述各題構建新數列的過程中，可以看出對題設中遞推式的觀察、分析，並據其結構特點進行合理變形，是成功構建新數列的關鍵。
構建新數列的目的是為了化繁為簡、化未知為已知、化不熟悉為熟悉，這也是解答數學問題的共性之所在。
訓練精編：
1、已知，則數列的通項公式 。
2、已知數列滿足=1，，則
3、在數列中，，則
4、在數列｛｝中，，則的表示式為
5、已知數列滿足，，求。
6、已知數列滿足=1，，求。
7、已知數列滿足=1， +2=2，求。
8、在數列中，，求。
9、在數列中，求通項公式。
10、在數列中，，，求通項。
11、已知數列的各項都是正數，且滿足，（），求數列的通項公式an。
12、數列滿足，求。
13、設數列的前n項和（=1，2，3，…），求。
14、若數列中， =2，且（n），求它的通項。
參***：
1、； 2、； 3、； 4、、；5、；6、；7、；8、；9、；
10、；11、；12、；13、；
14、；
例4、設數列滿足
解： 對等式兩端同加引數得
，，代入，
得相除得
即的等比數列，
。2 利用配方法
有些遞推關係式經「配方」後，可體現等差（比）的規律性。
例3 設n0， 1=5，當n2時， n+n-1=+6, 求數列的通項公式n。
分析：給出的遞推關係式不能反映規律性，因此考慮去分母得： 2n-2n-1=7+6(n-n-1),為體現規律性，變形為：
2n-2n-1-6n+6n-1=7，即（n-3）2-(n-1-3)2=7.
解：由n+n-1=+6（n2）變形為：
2n-2n-1=7+6(n-n-1) 即（n-3）2-(n-1-3)2=7 （n2）
數列是以(1-3)2=4為首項，公差為7的等差數列
=4+7（n-1）=7n-3，而n0
n=+3
說明：遞推關係式中含有二次項、一次項時可考慮用配方法，揭示規律，構造等差（比）數列。
3 利用因式分解
有些遞推關係式經因式分解後，可體現等差（比）的規律性。
例4已知數列｛n ｝是首項為1的正項數列，且2n+1 + 3n+1 - 22n + 3n - nn+1=0求數列的通項公式n。
分析:由已知遞推關係式，若配方，則無法配成完全平方或完全平方項之和。因此考慮用因式分解化簡，尋求更實質的關係。
可變形為： n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2n）=0。
解：由已知有： n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2 n）=0
（n+1 + n）[（n+1 + 3）-2n]=0，而n0
n+1 + 3 -2n=0，則利用待定常數法有（n+1 - 3）-2（n -3）=0
數列是以1-3=-2為首項，公比為2的等比數列。
n-3 =（-2）2n-1 即n = 3-2n
說明：因式分解能達到化簡的目的，使遞推關係式簡化，凸顯規律性。
例6 正項數列中， 1=1， 2=10，當n3時， n2n-1-3n-2=1，求數列的通項公式n。
怎麼利用構造法求數列的通項公式
求數列的通項公式是高考重點考查的內容，作為兩類特殊數列 等差數列 等比數列可直接根據它們的通項公式求解，但也有一些數列要通過構造轉化為等差數列或等比數列，之後再應用各自的通項公式求解，體現化歸思想在數列中的具體應用。例1 數列 abcd 解法1 又是首項為2公比為2的等比數列 所以選c 解法2歸納總...
構造法求數列通項填空題 2
1.在數列中，1，其中實數,則 答案 解答 由得，令，則原數列轉化為，於是，即 2.在數列中，是其前n項和，且，則 答案 解答 當n 2時，代入得，變形整理得兩邊除以得，是首相為1，公差為2的等差數列 也適合，當時，不滿足此式，3.在數列中，則 答案 解答 設，a b為待定係數 展開得，與已知比較係...
求數列通項方法
求數列的通項公式 本節重點 求通項方法 疊加 乘 法 迭代法 特徵根法 構造新數列.典例練講 1.疊加法 疊乘法 形如，通項求法為.形如，通項求法為.2.退位相減法 形如的數列 3.特徵根法 形如是常數 的數列 例1.已知數列滿足，求數列的通項 變式 已知數列滿足，求數列的通項 形如的數列 例2.已...