1.形如型
（1）若f(n)為常數,即：,此時數列為等差數列，則=.
（2）若f(n)為n的函式時，用累加法.
方法如下： 由得：
時，，，
所以各式相加得
即：.為了書寫方便，也可用橫式來寫：
時，，=.
例 1. （2003天津文） 已知數列｛an｝滿足,
證明證明：由已知得：
= .
例2.已知數列的首項為1，且寫出數列的通項公式答案：
例3.已知數列滿足，，求此數列的通項公式答案：
評注：已知,，其中f(n)可以是關於n的一次函式、二次函式、指數函式、分式函式，求通項.
若f(n)是關於n的一次函式，累加後可轉化為等差數列求和;
若f(n)是關於n的二次函式，累加後可分組求和;
若f(n)是關於n的指數函式，累加後可轉化為等比數列求和;
若f(n)是關於n的分式函式，累加後可裂項求和。
例4.已知數列中,且,求數列的通項公式.
解:由已知得,
化簡有,由型別(1)有,
又得,所以,又, ,
則此題也可以用數學歸納法來求解.
2.形如型
（1）當f(n)為常數，即：（其中q是不為0的常數），此時數列為等比數列， =.
（2）當f(n)為n的函式時,用累乘法.
由得時，，
=f(n)f(n-1).
例1.設是首項為1的正項數列，且（=1，2， 3，…），則它的通項公式是
解：已知等式可化為：
() (n+1), 即
時， ==.
評注：本題是關於和的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時用求根公式）得到與的更為明顯的關係式，從而求出.
例2.已知,求數列的通項公式.
解：因為所以
故又因為,即，
所以由上式可知,所以,故由累乘法得
=所以-1.
評注：本題解題的關鍵是把原來的遞推關係式轉化為
若令,則問題進一步轉化為形式，進而應用累乘法求出數列的通項公式.
3.形如型
（1）若（d為常數），則數列{}為「等和數列」，它是乙個週期數列，週期為2，其通項分奇數項和偶數項來討論;
（2）若f(n)為n的函式（非常數）時，可通過構造轉化為型，通過累加來求出通項;或用逐差法(兩式相減)得，，分奇偶項來分求通項.
例1. 數列{}滿足, ,求數列的通項公式.
分析 1：構造轉化為型
解法1：令
則.時,
各式相加:
當n為偶數時，.
此時當n為奇數時，
此時,所以.
故 解法2：
時，，兩式相減得：.
構成以,為首項，以2為公差的等差數列;
構成以,為首項，以2為公差的等差數列.
評注：結果要還原成n的表示式.
例2.（2005江西卷）已知數列的前n項和sn滿足
sn－sn－2=3求數列的通項公式.
解：方法一：因為
以下同例1，略
答案4.形如型
（1）若(p為常數)，則數列{}為「等積數列」，它是乙個週期數列，週期為2，其通項分奇數項和偶數項來討論;
（2）若f(n)為n的函式（非常數）時，可通過逐差法得，兩式相除後，分奇偶項來分求通項.
例1. 已知數列,求此數列的通項公式.
注：同上例類似，略.
5．形如,其中)型
（1）若c=1時，數列{}為等差數列;
（2）若d=0時，數列{}為等比數列;
（3）若時，數列{}為線性遞推數列，其通項可通過待定係數法構造輔助數列來求.
方法如下：設,
得,與題設比較係數得
,所以所以有：
因此數列構成以為首項，以c為公比的等比數列，
所以 即：.
規律：將遞推關係化為,構造成公比為c的等比數列從而求得通項公式
有時我們從遞推關係中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數列,進而求得通項公式.,再利用型別(1)即可求得通項公式.我們看到此方法比較複雜.
例1．已知數列中，求通項.
分析：兩邊直接加上,構造新的等比數列。
解：由得,
所以數列構成以為首項，以為公比的等比數列
所以,即 .
方法二：由
時， 兩式相減得
,數列是以=為首項，以c為公比的等比數列.
=( .
方法三：迭代法
由遞推式
直接迭代得
===.
方法四：歸納、猜想、證明.
先計算出,再猜想出通項,最後用數學歸納法證明.
注：請用這三種方法來解例題，體會並比較它們的不同.
6.形如型
.(1)若(其中k,b是常數，且)
方法：相減法
例1. 在數列中，求通項.
解時，，
兩式相減得
.令,則
利用型別5的方法知
即再由累加法可得.
亦可聯立解出.
例2. 在數列中，,求通項.
解：原遞推式可化為
比較係數可得：x=-6,y=9,上式即為
所以是乙個等比數列，首項,公比為.
即：故.(2)若(其中q是常數，且n0,1)
若p=1時，即：，累加即可.
若時，即：，
求通項方法有以下三種方向：. 兩邊同除以.
即： ,令，則,
然後型別1，累加求通項.
.兩邊同除以. 即： ,
令,則可化為.然後轉化為型別5來解，
.待定係數法：
設.通過比較係數，求出，轉化為等比數列求通項.
例1.（2003天津理）
設為常數，且．
證明對任意≥1，；
證法1：兩邊同除以（-2）,得
令,則===
.證法2：由得 .
設，則b. 即：,
所以是以為首項，為公比的等比數列.
則=,即：,
故.評注：本題的關鍵是兩邊同除以3，進而轉化為型別5，構造出新的等比數列，從而將求一般數列的通項問題轉化為求等比數列的通項問題.
證法3：用待定係數法
設, 即:,
比較係數得：,所以所以,
所以數列是公比為－2，首項為的等比數列.
即.方法4：本題也可用數學歸納法證.
（i）當n=1時，由已知a1=1－2a0，等式成立；
()假設當n=k（k≥1）等式成立，則
那麼也就是說，當n=k+1時，等式也成立. 根據（i）和（ii），可知等式對任何n∈n，成立.
規律： 型別共同的規律為：兩邊同除以，累加求和，只是求和的方法不同.
7.形如型
（1）即取倒數法.
例1. 已知數列中，，，求通項公式。
解：取倒數：
例2.（湖北卷）已知不等式為大於2的整數，表示不超過的最大整數. 設數列的各項為正，且滿足
（ⅰ）證明
分析：本題看似是不等式問題，實質就是求通項問題.
證：∵當
即於是有
所有不等式兩邊相加可得
由已知不等式知，當n≥3時有，
∵評注：本題結合不等式的性質，從兩邊取倒數入手，再通過裂項求和即可證得.
2.形如型
方法：不動點法:
我們設,由方程求得二根x,y,由有
同理,兩式相除有,從而得,再解出即可.
例1. 設數列｛an｝滿足,求｛an｝的通項公式.
分析：此類問題常用引數法化等比數列求解.
解：對等式兩端同時加引數t,得：
,令, 解之得t=1,-2 代入得
, ,相除得,即{}是首項為，
公比為的等比數列, =, 解得.
方法2：
，兩邊取倒數得，
令b，則b,轉化為型別5來求.
8.形如(其中p,q為常數)型
（1）當p+q=1時用轉化法
例1.數列中，若,且滿足,求.
解：把變形為.
則數列是以為首項，3為公比的等比數列，則
利用型別6的方法可得 .
（2）當時用待定係數法.
例2. 已知數列滿足，且,且滿足,求.
解：令,即,與已知
比較，則有,故或
下面我們取其中一組來運算，即有,
則數列是以為首項，3為公比的等比數列，故
,即,利用型別的方法，可得
. 評注：形如的遞推數列,我們通常採用兩次型別(5)的方法來求解,但這種方法比較複雜,我們採用特徵根的方法:設方程的二根為,設,再利用的值求得p,q的值即可.
9. 形如(其中p,r為常數)型
（1）p>0， 用對數法.
例1. 設正項數列滿足，（n≥2）.求數列的通項公式.
解：兩邊取對數得：，，設，則是以2為公比的等比數列， ，，，∴
練習數列中，，（n≥2），求數列的通項公式答案：
（2）p<0時用迭代法.
例1.（2005江西卷）
已知數列，
（1）證明 （2）求數列的通項公式an.
解：（1）略
（2）所以
又bn=－1，所以.
方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡捷，請試一試.
解法3：設c，則c,轉化為上面型別（1）來解.
求數列通項方法
求數列的通項公式 本節重點 求通項方法 疊加 乘 法 迭代法 特徵根法 構造新數列.典例練講 1.疊加法 疊乘法 形如，通項求法為.形如，通項求法為.2.退位相減法 形如的數列 3.特徵根法 形如是常數 的數列 例1.已知數列滿足，求數列的通項 變式 已知數列滿足，求數列的通項 形如的數列 例2.已...
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求數列通項方法總結
1 公式法 根據等差數列 等比數列的定義求通項 例 1已知等差數列滿足 求 2.已知數列滿足，求數列的通項公式 3.數列滿足 8，求數列的通項公式 4.已知數列滿足，求數列的通項公式 5.設數列滿足且，求的通項公式 6.已知數列滿足，求數列的通項公式。7.等比數列的各項均為正數，且，求數列的通項公式...