1.橢圓第一定義的應用
例1 橢圓的乙個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程．
分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置．
解：（1）當為長軸端點時，，，
橢圓的標準方程為：；
（2）當為短軸端點時，，，
橢圓的標準方程為：；
說明：橢圓的標準方程有兩個，給出乙個頂點的座標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況．
例2 已知橢圓的離心率，求的值．
分析：分兩種情況進行討論．
解：當橢圓的焦點在軸上時，，，得．由，得．
當橢圓的焦點在軸上時，，，得．
由，得，即．
∴滿足條件的或．
說明：本題易出現漏解．排除錯誤的辦法是：因為與9的大小關係不定，所以橢圓的焦點可能在軸上，也可能在軸上．故必須進行討論．
例3 已知方程表示橢圓，求的取值範圍．
解：由得，且．
∴滿足條件的的取值範圍是，且．
說明：本題易出現如下錯解：由得，故的取值範圍是．
出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件，當時，並不表示橢圓．
例4 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值範圍．
分析：依據已知條件確定的三角函式的大小關係．再根據三角函式的單調性，求出的取值範圍．
解：方程可化為．因為焦點在軸上，所以．
因此且從而．
說明：(1)由橢圓的標準方程知，，這是容易忽視的地方．
(2)由焦點在軸上，知，． (3)求的取值範圍時，應注意題目中的條件
例5 已知動圓過定點，且在定圓的內部與其相內切，求動圓圓心的軌跡方程．
分析：關鍵是根據題意，列出點p滿足的關係式．
解：如圖所示，設動圓和定圓內切於點．動點到兩定點，
即定點和定圓圓心距離之和恰好等於定圓半徑，
即．∴點的軌跡是以，為兩焦點，
半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：．
說明：本題是先根據橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然後根據橢圓的標準方程，求軌跡的方程．這是求軌跡方程的一種重要思想方法．
2.焦半徑及焦三角的應用
例1 已知橢圓，、為兩焦點，問能否在橢圓上找一點，使到左準線的距離是與的等比中項？若存在，則求出點的座標；若不存在，請說明理由．
解：假設存在，設，由已知條件得
，，∴，．
∵左準線的方程是，
∴．又由焦半徑公式知：
，．∵，∴．
整理得．
解之得或
另一方面
則①與②矛盾，所以滿足條件的點不存在．
例2 已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，，．求：的面積（用、、表示）．
分析：求面積要結合餘弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積．
解：如圖，設，由橢圓的對稱性，不妨設，由橢圓的對稱性，不妨設在第一象限．由餘弦定理知： ·．①
由橢圓定義知： ②，則得 ．
故．3.第二定義應用
例1 橢圓的右焦點為，過點，點在橢圓上，當為最小值時，求點的座標．
分析：本題的關鍵是求出離心率，把轉化為到右準線的距離，從而得最小值．一般地，求均可用此法．
解：由已知：，．所以，右準線．
過作，垂足為，交橢圓於，故．顯然的最小值為，即為所求點，因此，且在橢圓上．故．所以．
說明：本題關鍵在於未知式中的「2」的處理．事實上，如圖，，即是到右準線的距離的一半，即圖中的，問題轉化為求橢圓上一點，使到的距離與到右準線距離之和取最小值．
例2 已知橢圓上一點到右焦點的距離為，求到左準線的距離．
分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準線的距離求解．
解法一：由，得，，．
由橢圓定義，，得
．由橢圓第二定義，，為到左準線的距離，
∴，即到左準線的距離為．
解法二：∵，為到右準線的距離，，
∴．又橢圓兩準線的距離為．
∴到左準線的距離為．
說明：運用橢圓的第二定義時，要注意焦點和準線的同側性．否則就會產生誤解．
橢圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特徵，解題時要靈活選擇，運用自如．一般地，如遇到動點到兩個定點的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動點到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義．
例3 已知橢圓內有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點．
(1) 求的最大值、最小值及對應的點座標；
(2) 求的最小值及對應的點的座標．
分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變數的最值有兩種方法：一是目標函式當，即代數方法．二是數形結合，即幾何方法．本題若按先建立目標函式，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉化目標，運用數形結合，就能簡捷求解．
解：(1)如上圖，，，，設是橢圓上任一點，由，，∴，等號僅當時成立，此時、、共線．
由，∴，等號僅當時成立，此時、、共線．
建立、的直線方程，解方程組得兩交點
、．綜上所述，點與重合時，取最小值，點與重合時，取最大值．
(2)如下圖，設是橢圓上任一點，作垂直橢圓右準線，為垂足，由，，∴．由橢圓第二定義知，∴，∴，要使其和最小需有、、共線，即求到右準線距離．右準線方程為．
∴到右準線距離為．此時點縱座標與點縱座標相同為1，代入橢圓得滿足條件的點座標．
說明：求的最小值，就是用第二定義轉化後，過向相應準線作垂線段．巧用焦點半徑與點準距互化是解決有關問題的重要手段．
4.引數方程應用
例1 求橢圓上的點到直線的距離的最小值．
分析：先寫出橢圓的引數方程，由點到直線的距離建立三角函式關係式，求出距離的最小值．
解：橢圓的引數方程為設橢圓上的點的座標為，則點到直線的距離為
．當時，．
說明：當直接設點的座標不易解決問題時，可建立曲線的引數方程．
例2 (1)寫出橢圓的引數方程；(2)求橢圓內接矩形的最大面積．
分析：本題考查橢圓的引數方程及其應用．為簡化運算和減少未知數的個數，常用橢圓的引數方程表示曲線上一點座標，所求問題便化歸為三角問題．
解：(1) ．
(2)設橢圓內接矩形面積為，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行於軸和軸，設為矩形在第一象限的頂點，，
則故橢圓內接矩形的最大面積為12．
說明：通過橢圓引數方程，轉化為三角函式的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關的最值問題，用引數方程形式較簡便．
例3 橢圓與軸正向交於點，若這個橢圓上總存在點，使(為座標原點)，求其離心率的取值範圍．
分析：∵、為定點，為動點，可以點座標作為引數，把，轉化為點座標的乙個等量關係，再利用座標的範圍建立關於、、的乙個不等式，轉化為關於的不等式．為減少引數，易考慮運用橢圓引數方程．
解：設橢圓的引數方程是，
則橢圓上的點，，
∵，∴，
即，解得或，
∵ ∴（捨去），，又
∴，∴，又，∴．
說明：若已知橢圓離心率範圍，求證在橢圓上總存在點使．如何證明？
5.相交情況下--弦長公式的應用
例1 已知橢圓及直線．
（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？
（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程．
解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，
即．，解得．
（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫座標為，，由（1）得，．
根據弦長公式得 ：．解得．方程為．
說明：處理有關直線與橢圓的位置關係問題及有關弦長問題，採用的方法與處理直線和圓的有所區別．
這裡解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應用弦長公式．
用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與係數的關係），可大大簡化運算過程．
例2 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓於，兩點，求弦的長．
分析：可以利用弦長公式求得，
也可以利用橢圓定義及餘弦定理，還可以利用焦點半徑來求．
解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解．
．因為，，所以．因為焦點在軸上，
所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為．
由直線方程與橢圓方程聯立得：．設，為方程兩根，所以，，， 從而．
(法2)利用橢圓的定義及餘弦定理求解．
由題意可知橢圓方程為，設，，則，．
在中，，即；
所以．同理在中，用餘弦定理得，所以．
(法3)利用焦半徑求解．
先根據直線與橢圓聯立的方程求出方程的兩根，，它們分別是，的橫座標．
再根據焦半徑，，從而求出
6.相交情況下—點差法的應用
例1 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交於、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．
解：由題意，設橢圓方程為，
由，得，
∴，，，∴，
∴為所求．
說明：（1）此題求橢圓方程採用的是待定係數法；（2）直線與曲線的綜合問題，經常要借用根與係數的關係，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題．
例2 已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程．
分析一：已知一點求直線，關鍵是求斜率，故設斜率為，利用條件求．
解法一：設所求直線的斜率為，則直線方程為．代入橢圓方程，並整理得
．由韋達定理得．
∵是弦中點，∴．故得．
所以所求直線方程為．
分析二：設弦兩端座標為、，列關於、、、的方程組，從而求斜率：．
解法二：設過的直線與橢圓交於、，則由題意得
①－②得
將③、④代入⑤得，即直線的斜率為．
所求直線方程為．
說明：（1）有關弦中點的問題，主要有三種型別：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡．
（2）解法二是「點差法」，解決有關弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率．
（3）有關弦及弦中點問題常用的方法是：「韋達定理應用」及「點差法」．有關二次曲線問題也適用．
例3 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；
（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；
（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；
（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，
求線段中點的軌跡方程．
分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端座標的方法．
解：設弦兩端點分別為，，線段的中點，則
（1）將，代入⑤，得，故所求直線方程為： ． ⑥
將⑥代入橢圓方程得，符合題意，為所求．
（2）將代入⑤得所求軌跡方程為橢圓內部分）
（3）將代入⑤得所求軌跡方程為： ．（橢圓內部分）
（4）由①＋②得將③④平方並整理得
圓經典例題分析總結
經典例題透析 1 垂徑定理及其應用 在圓這一章中，涉及垂徑定理的有關知識點很多，如弓形中的有關計算 切線的性質 判定定理等，也是在各地中考中經常出現的乙個考點.應用垂徑定理可以進行線段的垂直 平分以及弓形面積的計算等.1 某居民小區的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面...
橢圓經典練習題7
橢圓及其性質 1.方程表示橢圓 0，0，且 是，中之較大者，焦點的位置也取決於，的大小。舉例 橢圓的離心率為，則 解析 方程中4和哪個大哪個就是，因此要討論 若0 4,則，得 3 4,則，得 綜上 3或 鞏固 若方程 x2 ay2 a2 表示長軸長是短軸長的2倍的橢圓，則a的允許值的個數是 a 1個...
高中數學橢圓經典例題及其講解新人教A版選修
橢圓標準方程典型例題 例1 已知橢圓的乙個焦點為 0，2 求的值 分析 把橢圓的方程化為標準方程，由，根據關係可求出的值 解 方程變形為 因為焦點在軸上，所以，解得 又，所以，適合 故 例2 已知橢圓的中心在原點，且經過點，求橢圓的標準方程 分析 因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況 根據題設...