橢圓及其性質
1.方程表示橢圓》0，>0，且≠；是，中之較大者，焦點的位置也取決於，的大小。
[舉例] 橢圓的離心率為，則=
解析：方程中4和哪個大哪個就是，因此要討論；（ⅰ）若0<<4,則，∴，∴==，得=3；（ⅱ）>4,則，∴，∴==，得=；綜上：=3或=。
[鞏固]若方程：x2+ay2=a2 表示長軸長是短軸長的2倍的橢圓，則a的允許值的個數是
a 1個 b .2個 c.4個 d.無數個
2．橢圓關於x軸、y軸、原點對稱；p(x,y)是橢圓上一點，則|x|≤a,|y|≤b，
a-c≤|pf|≤a+c，（其中f是橢圓的乙個焦點），橢圓的焦點到短軸端點的距離為a，橢圓的焦準距為，橢圓的通經(過焦點且垂直於長軸的弦)長為2，通經是過焦點最短的弦。
[舉例1] 已知橢圓（>0,>0）的左焦點為f，右頂點為a，上頂點為b，若
bf⊥ba,則稱其為「優美橢圓」，那麼「優美橢圓」的離心率為 。
解析：|ab|2=2+2，|bf|=，|fa|=+，在rt⊿abf中，(+)2=2+2+2
化簡得： 2+-2=0，等式兩邊同除以2得：，解得：=。
注：關於,，的齊次方程是「孕育」離心率的溫床。
[舉例2] 已知橢圓（>0,>0）的離心率為，若將這個橢圓繞著它的右焦點按逆時針方向旋轉後，所得的新的橢圓的一條準線的方程為=，則原來橢圓的方程是
解析：原來橢圓的右焦點為新橢圓的上焦點，在x軸上，直線=為新橢圓的上準線，故新橢圓的焦準距為，∴原來橢圓的焦準距也為，於是有：= ①，
= ②，由①②解得：=5，=3。
[鞏固1]一橢圓的四個頂點為a1，a2，b1，b2，以橢圓的中心為圓心的圓過橢圓的焦點，的橢圓的離心率為 。
[鞏固2] 在給定橢圓中，過焦點且垂直於長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為
(abcd)
[遷移]橢圓上有n個不同的點p1，p2，p3，…，pn，橢圓的右焦點f，數列
是公差大於的等差數列，則n的最大值為
a．198 b．199 c．200 d．201
3.圓錐曲線的定義是求軌跡方程的重要載體之一。
[舉例1]已知⊙q：(x-1)2+y2=16,動⊙m過定點p(-1,0)且與⊙q相切，則m點的軌跡方程是：
解析：p(-1,0)在⊙q內，故⊙m與⊙q內切，記：m(x,y)，⊙m的半徑是為r，則：
|mq|=4-r，又⊙m過點p，∴|mp|=r，於是有：|mq|=4-|mp|，即|mq|+|mp|=4，可見m點的軌跡是以p、q為焦點（c=1）的橢圓，a=2。
[舉例2] 若動點p（x,y）滿足|x+2y-3|=5，則p點的軌跡是：
a．圓 b、橢圓 c、雙曲線 d、拋物線
解析：等式兩邊平方，化簡方程是最容易想到的，但不可行，一方面運算量很大，另一方面是平方、展開後方程中會出現xy項，這就給我們判斷曲線型別帶來了麻煩。但是，仔細觀察方程後，就會發現等式左邊很「象」是點到直線的距離，而等式右邊則是兩點間的距離的5倍；為了讓等式左邊變成點到直線的距離，可以兩邊同除以，於是有：
=，這就已經很容易聯想到圓錐曲線的第二定義了，
只需將方程再變形為：，即動點p（x,y）到定點a（1，2）與到定直線x+2y-3=0的距離之比為，∴其軌跡為橢圓。
[鞏固1] 已知圓為圓上一點，aq的垂直平分線交cq於m，則點m的軌跡方程為
[鞏固2]設x、y∈r，在直角座標平面內，=(x,y+2),=(x,y-2),且||+||=8，則點
m(x,y)的軌跡方程為
[提高]已知a（0，7），b（o，-7），c（12，2），以c為乙個焦點作過a、b的橢圓，則橢圓的另一焦點的軌跡方程為
[遷移] p為直線x-y+2=0上任一點，一橢圓的兩焦點為f1（-1，0）、f2（1，0），則橢圓過p點且長軸最短時的方程為
4．研究橢圓上的點到其焦點的距離問題時，往往用定義；會推導並記住橢圓的焦半徑公式。
[舉例1] 如圖把橢圓的長軸ab分成8分，過
每個分點作ｘ軸的垂線交橢圓的上半部分於,,……
七個點，f是橢圓的乙個焦點，則
解析：p1與p7，p2與p6，p3與p5關於y軸對稱，p4在y軸上，
記橢圓的另乙個焦點為f/，則|p7f|=|p1f/|， |p6f|=|p2f/|，|p5f|=|p3f/|，k]
於是|p1f|+|p1f/|+|p2f|+|p2f/|+|p3f|+|p3f/|+|p4f|=7a=35.
[舉例2] 已知a、b是橢圓上的兩點，f2是橢圓的右焦點，如果 ab的中點到橢圓左準線距離為，則橢圓的方程 .
解析： ==，
記ab的中點為m ，a、b、m在橢圓左準線上的射影分別為a1、b1，m1，由橢圓第二定義知：|af1|=e|aa1|，|bf1|=e|bb1|，於是有：e（|aa1|+|bb1|）=，而e=[
∴|aa1|+|bb1|=3a2|mm1|=3a，又|mm1|=，得a=1，故橢圓方程為。
[鞏固1] 橢圓的兩焦點為f1，f2，以f1f2為一邊的正三角形的另兩條邊均被橢圓平分，則橢圓的離心率為 。
[鞏固2]已知f1、f2是橢圓的左右焦點，點是此橢圓上的乙個動點，為乙個定點，則的最大值為的最小值為 。
[提高] 過橢圓左焦點f且斜率為的直線交橢圓於a、b兩點，若|fa|=2|fb|，則橢圓的離心率e=_____
5．研究橢圓上一點與兩焦點組成的三角形（焦點三角形）問題時，常用橢圓定義及正、餘弦定理。
[舉例]已知焦點在軸上的橢圓f1,f2是它的兩個焦點，若橢圓上存在點p，使得，則的取值範圍是
解析：思路一：先證乙個結論：若b為橢圓短軸端點，則∠f1pf2≤∠f1bf2。記∠f1pf2=,
|pf1|=r1, |pf2|=r2,cos===
又≤()2=,∴cos≥=cos∠f1bf2,當且僅當r1=r2時等號成立，
即∠f1pf2≤∠f1bf2。題中橢圓上存在點p，使得∠f1pf2=900，當且僅當∠f1bf2≥900，即
cos∠f1bo≤b≤a=,∴b∈(0, .思路二：用勾股定理：r1+r2=2a ①
r12+r22=4c2 ②,由①②得：2r1r2=4b2,又2r1r2≤r12+r22 ∴b2≤c2=4-b2 即b∈(0, .
思路三：用向量的座標運算：記p(x0,y0),=(-c-x0,-y0), =(c-x0,-y0),
=c2-x02+y02=0(b2+4)x02=4(c2-b2),注意到：0≤x02≤4，∴0≤4(c2-b2)≤4(b2+4)
即0≤4-2b2≤b2+4，得b∈(0, .
[鞏固1]橢圓的焦點為、，點p為其上的動點，當為鈍角時，點p橫座標的取值範圍是
[鞏固2]已知p是橢圓上一點，f1和f2是焦點，若∠f1pf2=30°，則△pf1f2的面積為
a． b． c． d．4
6．橢圓的引數方程的重要用途是設橢圓上一點的座標時，可以減少乙個變數，或者說座標本身就已經體現出點在橢圓上的特點了，而無需再借助圓的方程來體現橫縱座標之間的關係；如求橢圓上的點到一條直線的距離的最值。
[舉例]若動點（）在曲線上變化，則的最大值為
a． b．
c． d．2
解析：本題可以直接借助於橢圓方程把x2用y表示，從而得到乙個關於y 的二次函式，再配方求最值；這裡用橢圓的引數方程求解：記x=2cos,y=bsin, =4cos2+
2bsin=f(),f()=-4sin2+2bsin+4=-4(sin-)2+, sin∈[-1,1][
若0<≤104,則當sin=1時f()取得最大值2，故選a
[鞏固]橢圓上的點到直線2x-y+3=0距離的最大值是
答案1．[鞏固]b， 2、[鞏固1]，[鞏固2]b，[遷移]c， 3、[鞏固1] ，[鞏固2] ，[提高] ，[遷移] ，
4、[鞏固1] e=-1，[鞏固2]6+，，[提高]；5、[鞏固1]，[鞏固2] b； 6、[鞏固]
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