橢圓的基本知識
1．橢圓的定義：把平面內與兩個定點的距離之和等於常數（大於）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距(設為2c) .
2.橢圓的標準方程：
（＞＞00）
焦點在座標軸上的橢圓標準方程有兩種情形，為了計算簡便，可設方程為mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考慮焦點位置，求出方程
3.求軌跡方程的方法: 定義法、待定係數法、相關點法、直接法
解: (相關點法)設點m(x, y), 點p(x0, y0),
則x＝x0, y＝ 得x0＝x， y0＝2y.
∵x02＋y02＝4, 得 x2＋(2y)2＝4,
即所以點m的軌跡是乙個橢圓.
4.範圍. x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．
橢圓位於直線x＝±a和y＝±b圍成的矩形裡．
5.橢圓的對稱性
橢圓是關於y軸、x軸、原點都是對稱的．座標軸是橢圓的對稱軸．
原點是橢圓的對稱中心．橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心．
6.頂點只須令x＝0，得y＝±b，點b1(0,－b)、b2(0, b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y＝0，得x＝±a，點a1(－a,0)、a2(a,0)是橢圓和x軸的兩個交點．橢圓有四個頂點：a1(－a, 0)、a2(a, 0)、b1(0, －b)、b2(0, b)．橢圓和它的對稱軸的四個交點叫橢圓的頂點．
線段a1a2、b1b2分別叫做橢圓的長軸和短軸.
長軸的長等於2a. 短軸的長等於2b.a叫做橢圓的
長半軸長．b叫做橢圓的短半軸長．
|b1f1|＝|b1f2|＝|b2f1|＝|b2f2|＝a．
在rt△ob2f2中，|of2|2＝|b2f2|2－|ob2|2，
即c2＝a2－b2．
7.橢圓的幾何性質：
橢圓的幾何性質可分為兩類：一類是與座標系有關的性質，如頂點、焦點、中心座標；一類是與座標系無關的本身固有性質，如長、短軸長、焦距、離心率．對於第一類性質，只要的有關性質中橫座標x和縱座標y互換，就可以得出的有關性質。總結如下：
幾點說明：
（1）長軸：線段，長為；短軸：線段，長為；焦點在長軸上。
（2）對於離心率e，因為a>c>0，所以0由於，所以越趨近於1，越趨近於，橢圓越扁平；越趨近於0，越趨近於，橢圓越圓。
（3）觀察下圖，，所以，所以橢圓的離心率e = cos∠of2b2
8.直線與橢圓：
直線：（、不同時為0）
橢圓：那麼如何來判斷直線和橢圓的位置關係呢？將兩方程聯立得方程組，通過方程組的解的個數來判斷直線和橢圓交點的情況。方法如下：
消去得到關於的一元二次方程，化簡後形式如下
， （1）當時，方程組有兩組解，故直線與橢圓有兩個交點；
（2）當時，方程組有一解，直線與橢圓有乙個公共點（相切）；
（3）當時，方程組無解，直線和橢圓沒有公共點。
注：當直線與橢圓有兩個公共點時，設其座標為，那麼線段的長度（即弦長）為，設直線的斜率為，
可得： ，然後我們可通過求出方程的根或用韋達定理求出。
橢圓典型例題
例1 已知橢圓的乙個焦點為（0，2）求的值．
分析：把橢圓的方程化為標準方程，由，根據關係可求出的值．
解：方程變形為．因為焦點在軸上，所以，解得．
又，所以，適合．故．
例2 已知橢圓的中心在原點，且經過點，，求橢圓的標準方程．
分析：因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況．根據題設條件，運用待定係數法，
求出引數和（或和）的值，即可求得橢圓的標準方程．
解：當焦點在軸上時，設其方程為．
由橢圓過點，知．又，代入得，，故橢圓的方程為．
當焦點在軸上時，設其方程為．
由橢圓過點，知．又，聯立解得，，故橢圓的方程為．
例3的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡．
分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解．
（2）由的軌跡方程、座標的關係，利用代入法求的軌跡方程．
解： （1）以所在的直線為軸，中點為原點建立直角座標系．設點座標為，由，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點．因，，有，
故其方程為．
（2）設，，則． ①
由題意有代入①，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點）．
例4 已知點在以座標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的乙個焦點，求橢圓方程．
解：設兩焦點為、，且，．從橢圓定義知．即．
從知垂直焦點所在的對稱軸，所以在中，，
可求出，，從而．
∴所求橢圓方程為或．
例5 已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，，．求：的面積（用、、表示）．
分析：求面積要結合餘弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積．
解：如圖，設，由橢圓的對稱性，不妨設，由橢圓的對稱性，不妨設在第一象限．由餘弦定理知： ·．①
由橢圓定義知： ②，則得 ．
故．例6 已知動圓過定點，且在定圓的內部與其相內切，求動圓圓心的軌跡方程．
分析：關鍵是根據題意，列出點p滿足的關係式．
解：如圖所示，設動圓和定圓內切於點．動點到兩定點，
即定點和定圓圓心距離之和恰好等於定圓半徑，
即．∴點的軌跡是以，為兩焦點，
半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：．
說明：本題是先根據橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然後根據橢圓的標準方程，求軌跡的方程．這是求軌跡方程的一種重要思想方法．
例7 已知橢圓
（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；
（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；
（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；
（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，
求線段中點的軌跡方程
分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端座標的方法．
解：設弦兩端點分別為，，線段的中點，則
（1）將，代入⑤，得，故所求直線方程為： ． ⑥
將⑥代入橢圓方程得，符合題意，為所求．
（2）將代入⑤得所求軌跡方程為橢圓內部分）
（3）將代入⑤得所求軌跡方程為： ．（橢圓內部分）
（4）由①＋②得將③④平方並整理得
將⑧⑨代入⑦得
再將代入⑩式得即 ．
此即為所求軌跡方程．當然，此題除了設弦端座標的方法，還可用其它方法解決．
例8 已知橢圓及直線．
（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？
（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程．
解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，
即．，解得．
（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫座標為，，由（1）得，．
根據弦長公式得 ：．解得．方程為．
說明：處理有關直線與橢圓的位置關係問題及有關弦長問題，採用的方法與處理直線和圓的有所區別．
這裡解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應用弦長公式．
用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與係數的關係），可大大簡化運算過程．
例9 以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應在何處？並求出此時的橢圓方程．
分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線同側的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決．
解：如圖所示，橢圓的焦點為，．
點關於直線的對稱點的座標為（－9，6），直線的方程為．
解方程組得交點的座標為（－5，4）．此時最小．
所求橢圓的長軸：，∴，又，
∴．因此，所求橢圓的方程為．
例10 已知方程表示橢圓，求的取值範圍．
解：由得，且．
∴滿足條件的的取值範圍是，且．
說明：本題易出現如下錯解：由得，故的取值範圍是．
出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件，當時，並不表示橢圓．
例11 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值範圍．
分析：依據已知條件確定的三角函式的大小關係．再根據三角函式的單調性，求出的取值範圍．
解：方程可化為．因為焦點在軸上，所以．
因此且從而．
說明：(1)由橢圓的標準方程知，，這是容易忽視的地方．
(2)由焦點在軸上，知，． (3)求的取值範圍時，應注意題目中的條件．
例12 求中心在原點，對稱軸為座標軸，且經過和兩點的橢圓方程
分析：由題設條件焦點在哪個軸上不明確，橢圓標準方程有兩種情形，為了計算簡便起見，
可設其方程為(，)，且不必去考慮焦點在哪個座標軸上，直接可求出方程．
解：設所求橢圓方程為(，)．由和兩點在橢圓上可得
即所以，．故所求的橢圓方程為．
例13 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓於，兩點，求弦的長．
分析：可以利用弦長公式求得，
也可以利用橢圓定義及餘弦定理，還可以利用焦點半徑來求．
解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解．
．因為，，所以．因為焦點在軸上，
所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為．
由直線方程與橢圓方程聯立得：．設，為方程兩根，所以，，， 從而．
(法2)利用橢圓的定義及餘弦定理求解．
由題意可知橢圓方程為，設，，則，．
在中，，即；
所以．同理在中，用餘弦定理得，所以．
(法3)利用焦半徑求解．
先根據直線與橢圓聯立的方程求出方程的兩根，，它們分別是，的橫座標．
再根據焦半徑，，從而求出．
例14 橢圓上的點到焦點的距離為2，為的中點，則（為座標原點）的值為a．4 b．2 c．8 d．
說明：(1)橢圓定義：平面內與兩定點的距離之和等於常數（大於）的點的軌跡叫做橢圓．
(2)橢圓上的點必定適合橢圓的這一定義，即，利用這個等式可以解決橢圓上的點與焦點的有關距離．
例15 已知橢圓，試確定的取值範圍，使得對於直線，橢圓上有不同的兩點關於該直線對稱．
分析：若設橢圓上，兩點關於直線對稱，則已知條件等價於：(1)直線；(2)弦的中點在上．
橢圓知識點及例題
橢圓一 橢圓的定義 1 橢圓的第一定義 平面內與兩定點f1 f2的距離的和等於常數2a 2a f1f2 的動點p的軌跡叫做橢圓。即 m 其中兩定點f1 f2叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離 f1f2 2c 2a叫做橢圓的焦距。長軸長度2a 短軸長度2b 2 橢圓的第二定義 平面內一動點到乙個定點的距離和...
橢圓知識點總結
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橢圓知識點總結
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