橢圓一、橢圓的定義
1、橢圓的第一定義：
平面內與兩定點f1、f2的距離的和等於常數2a (2a>|f1f2|)的動點p的軌跡叫做橢圓。
即：m=
其中兩定點f1、f2叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離
│f1f2│=2c<2a叫做橢圓的焦距。
長軸長度2a ，短軸長度2b
2、橢圓的第二定義：
平面內一動點到乙個定點的距離和一條定直線的距離之比為常數e的點的集合（該常數e=c/a，即橢圓的離心率，為小於1的正數）。
3.焦點三角形
（1）周長:2(a+c)
（2）面積：
設∠f1pf2= θ，則s=1/2|pf1 | | pf2 | sinθ
|pf1 |+ | pf2 |=2a1)
|pf1 |2+ | pf2 |2-2 |pf1 | | pf2 | cosθ =4c2 (2)
(1)2-(2)得： |pf1 | | pf2 | =2b2/(1+cos θ)
∴s=b2tan θ/2
二、橢圓的標準方程
三、橢圓的幾何性質
以焦點在x軸的標準方程為例
1、範圍：
|x|a,|y|b 即橢圓位於直線x=a、y=b圍成的矩形裡。
2、對稱性
對稱中心：o (0,0)，對稱軸方程：x=0，y=0.
3、頂點
a1(-a,0)，a2(a,0)，b1(0,-b)，b2(0,b)
長軸：|a1a2|=2a，短軸：|b1b2|=2b
4、離心率
e= （焦距與長軸長之比）
5、準線方程
x=6、焦半徑公式
p(x0,y0)為橢圓上任一點，|pf1|=a+ex0，|pf2|=a- ex0
7、幾個引數之間的關係
a2=b2+c2，p=（其中p是焦點到相應準線的距離），
e=四.直線和橢圓的位置關係
1.位置關係的判斷：判別式法
2.相交弦：
（1）弦長公式：
（2）中點弦問題：點差法
3、點m(x0,y0)與橢圓的位置關係：
點m在橢圓內：
點m在橢圓外：
五、例題
1、橢圓定義的應用
（1）橢圓+=1的焦點為f1、f2，點p在橢圓上，若|pf1|=4,則|pf2|=？；求cos∠f1pf2
（2）已知f是橢圓5x2+9y2=45的左焦點，p是橢圓上的點，a(1,1)是一定點，則|pa|+|pf|的最大值和最小值分別為？
（3）一動圓與已知圓o1：（x+3）2+y2=1外切，與圓o2：（x-3）2+y2=1內切，則動圓圓心的軌跡方程為？
（4）已知橢圓x2+9y2=9的兩個焦點分別為f1，f2,
∠ f1pf2=60，則pf1f2的面積是？
2、橢圓幾何性質的應用
（1）過橢圓（a>b>0）的左焦點f1作x軸的垂線交橢圓與點p，f2為右焦點，若∠f1pf2=600,則橢圓的離心率為？
（2）已知橢圓c：（a>b>0）的離心率e=，短軸的乙個端點到右焦點的距離為，求橢圓c的方程。
（3）已知橢圓+y2=1的焦點為f1、f2，點m在該橢圓上，由=0，則點m到y軸的距離為？
（4）已知橢圓的焦點分別為f1，f2，若橢圓上存在點p，使，則e的範圍為？（答案：）
（5）在直角座標系xoy中，點p到兩點(0，－)、(0，))的距離之和等於4，設點p的軌跡為c，直線y＝kx＋1與c交於a、b兩點．
(1)寫出c的方程；
(2)若⊥，求k的值。
3、與橢圓相關的綜合問題
（1）已知橢圓+=1的左右焦點分別為f1、f2，m是橢圓上一點，n是mf1的中點，若on=1，則mf1的長等於多少？
（2）f1、f2是橢圓+=1的左右兩個焦點，p為橢圓的乙個頂點，若pf1f2是等邊三角形，則a2=？
（3）已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓c的離心率為，且經過點（-1，）.經過點p（2,1）的直線與橢圓c在第一象限相切於點m。求橢圓c的方程；求直線的方程及點m的座標。
橢圓知識點及題型
專題七 橢圓標準方程及其性質知識點大全 一 橢圓的定義及橢圓的標準方程 橢圓定義 平面內乙個動點到兩個定點 的距離之和等於常數,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意 若，則動點的軌跡為線段 若，則動點的軌跡無圖形 二 橢圓的簡單幾何性 標準方程是指中心在原點...
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