橢圓（1）第一定義——把橢圓從圓中分離
橢圓從圓（壓縮）變形而來，從而使得橢圓與圓相關而又相異. 它從圓中帶來了中心和定長，但又產生了2個新的定點——焦點. 準確、完整地掌握橢圓的定義，是學好橢圓、並進而學好圓錐曲線理論的基礎.
【例1】 若點m到兩定點f1（0，-1），f2（0，1）的距離之和為2，則點m的軌跡是 （ ）
.橢圓 .直線 .線段 .線段的中垂線.
【解析】注意到且故點m只能**段上運動，即點m的軌跡就是線段，選c.
【評注】橢圓的定義中有乙個隱含條件，那就是動點到兩定點的距離之和必須大於兩定點間的距離.忽視這一點，就會錯誤地選a.
（2）勾股陣列——橢圓方程的幾何特徵
橢圓的長、短半軸a、b和半焦距c，滿足.在a、b、c三個引數中，只要已知或求出其中的任意兩個，便可以求出第3個，繼而寫出橢圓方程和它的一切特徵數值.
橢圓方程的標準式有明顯的幾何特徵，這個幾何特徵就反映在這個勾股陣列上. 所謂解橢圓說到底是解這個勾股陣列.
【例2】已知圓，圓內一定點（3，0），圓過點且與圓內切，求圓心的軌跡方程.
【解析】如圖，設兩圓內切於c，動點p（x，y），
則a、p、c共線. 連ac、pb，∵
為定長，而a（-3，0），b（3，0）為定點，∴圓心的
軌跡是橢圓.且.所求軌跡方程為：
. （3）第二定義——橢圓的個性向圓錐曲線共性加盟
如果說橢圓第一定義的主要功能是匯出了橢圓的方程，那麼橢圓的第二定義則給橢圓及其方程給出了深刻的解釋.根據這個解釋，我們可以方便地解決許多關於橢圓的疑難問題.
【例3】已知橢圓，能否在此橢圓位於y軸左側部分上找一點p，使它到左準線的距離是它到兩焦點f1，f2距離的比例中項.
【解析】由橢圓方程知：.
橢圓的左準線為：.設存在橢圓上一點p（x，y）
（x<0）符合所設條件.作ph⊥l於h.令
，則有：
.但是.
∴.又.
這與矛盾.故在橢圓左側上不存在符合題設條件的點.
● 通法特法妙法
（1）解析法——解析幾何存在的理由
解析法的實質是用代數的方法學習和研究幾何.在解析幾何的模式下，平面上任意一條曲線都唯一對應著乙個二元方程.反之，根據任意乙個二元方程，都可以用描點法唯一地畫出它所對應的曲線.
因此，可以將幾何問題轉化為解方程、方程組或不等式.
【例4】點p（x，y）在橢圓上，則的最大值為
a.1b.-1cd.
【解析】設
方程（1）表示過橢圓上一點p（x，y）
和原點的直線.顯然當直線在橢圓上方且與橢圓相切時，
最大.將方程（1）代入橢圓方程得：
由於直線與橢圓相切，故方程（2）應有相等二實根.由
.∵k>0，∴取，選d.
【評注】直線與曲線相切的解析意義是相應的一元二次方程有相等二實根，因而可轉化為其判別式為零處理；同理，直線與曲線相交要求相應的判別式大於零，相離則要求這個判別式小於零.
（2）導數法——把方程與函式鏈結
由於解析法往往牽涉到比較繁雜的運算，所以人們在解題中研究出了許多既能減少運算，又能達到解題目的的好方法，導數法就是最為明顯的一種.
【例5】求證：過橢圓上一點的切線方程為：.
【證明一】（解析法）設所求切線方程為：，代入橢圓方程：
.化簡得：
∵直線與橢圓相切，∴方程（1）有相等二實根.其判別式△=0，即：
.化簡得：
∵點在橢圓上，∴，方程（2）之判別式
.故方程（2）亦有相等二實根，且其根為：
.則切線方程為：
.再化簡即得：.
【證明二】（導數法）對方程兩邊取導數：
.則切線方程為：
.再化簡即得：.
【評注】（1）兩種證法的繁簡相差多大，一看便知
（2）這個切線方程的實際意義很大.在有關運算中直接引用這個公式是十分省事的.
（3）幾何法——為解析法尋根朔源
減少解析計算的又乙個重要手段，是在解題中充分運用平面幾何知識.
【例6】（07.湖南文科.9題）設分別是橢圓（）的左、右焦點，是其右準線上縱座標為（為半焦距）的點，且，則橢圓的離心率是（ ）
abcd．
【解析】如圖有，設右準線交x軸於h，
∵，選d.
【例7】已知橢圓和圓
總有公共點，則實數的取值範圍是
【解析】如右圖橢圓的中心在原點，
且長、短半軸分別為a=2，b=1；圓
的圓心為c（a，0）且半徑r=1.
顯然，當圓c從橢圓左邊與之相切右移到橢圓
右邊與之相切時都有公共點.此時圓心的橫座標由-3增加到3，故a∈，選c.
在解析幾何解體中引入平面幾何知識包含兩個重要方面，一是恰當地運用平面幾何知識及其推理功能，二是利用圖形變換去進行數量的分析與計算.
（4）轉移法——將生疏向熟知化歸
做數學題如果題題都從最原始的地方起步，顯然是勞神費力且違反數學原則的.不失時機地運用前此運算成果就成為數學思想的本質特點.而轉移法正是這一思想的具體體現.
【例8】（06.全國一捲.20題）在平面直角座標系中，有乙個以和為焦點，離心率為的橢圓.
設橢圓在第一象限的部分為曲線c，動點p在c上，c在點p處的切線與x,y軸的交點分別為a,b且向量om=oa+ob.試求點m的軌跡方程
【分析】點p在已知軌跡（橢圓在第一象限的部分）上，
是主動點；點m在未知軌跡上，且隨著點p的運動而運動，是
被動點.故本例是典型的國際已知軌跡求未知軌跡，適合用座標
轉移法解之.此外，過橢圓上一點p的切線方程，可以直接運用
例5的結論.
【解析】橢圓的半焦距，離心率
.又橢圓的焦點在y軸上，故其
方程為：.
設點p的座標為那麼
過點p的橢圓切線方程為：
在方程（2）中，令y=0，得.
設點m的座標為.由om=oa+ob
，代入（1）：.
∵，∴所求點m的軌跡方程是：.
轉移法求軌跡方程的基本步驟是：（1）在已知軌跡上任取一點m（x0，y0），並寫出其滿足的已知關係式；（2）設p（x，y）為待求軌跡上一點，並根據題設條件求出兩個座標的關係式；（3）用x，y的代數式分別表示x0，y0，代入（1）中的關係式化簡即得.
（5）三角法——與解析法珠聯璧合
三角學的資源豐富，方法靈活.在解析幾何解題中適當引入三角知識，優點多多.例如橢圓方程的三角形式是：
，既將點的座標中的兩個變數減少為乙個，又可以利用三角的優勢去解決解析幾何中的疑難.
【例9】若p是橢圓上的點，f1和f2是焦點，則的最大值和最小值分別是
【解析】橢圓的長、短半軸分別為a=2，b=，∴半焦距c=1.焦點座標分別為：f1（-1，0），f2（1，0）.設橢圓上一點為，那麼
.同理；.於是
故所求最大值為4，最小值是3.
【例10】如圖1，中心在原點o的橢圓的右焦點為f（3，0），右準線l的方程為：x = 12。（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上任取三個不同點，
使，證明
為定值，並求此定值.
【分析】本題選自07.重慶卷.22題，是壓軸題.
難度很大.動手前一定要選擇好恰當的破題路徑，
否則將陷入繁雜的計算而不得自拔.
有關的3條線段都是焦半徑，企圖用橢圓的
第一定義或兩點距離公式出發將是徒勞的.正確
的解題途徑是：（1）利用橢圓的第二定義；（2）
題中有3個相等的角度，應不失時機地引入三角
知識.【解析】橢圓的半焦距c=3，右準線x = 12
.故橢圓方程為：，其離心率.
如圖2設為橢圓上符合條件的三點，令.作p1h1⊥於h1，令，
設∠p1fx=θ則∠p2fx=θ+120°∠p3fx= 120°-θ.於是，而.
同理：.於是
，故為定值.
如果讀者有極座標的有關知識，則本題的解法將更為簡潔
圓錐曲線的極座標方程是：.其中e是橢圓的離心率，p是相應焦點到準線的距離，θ是極徑與極軸的夾角.
巧用定義求橢圓中四類最值問題
圓錐曲線的定義既是推導圓錐曲線標準方程的依據，又是用來解決一些問題的重要方法，一般情況下，當問題涉及焦點或準線，且用其它方法不易求解時，可考慮運用定義求解，下面以橢圓為例歸納四類最值問題。
一、的最值
若a為橢圓內一定點（異於焦點），p是c上的乙個動點，f是c的乙個焦點，e是c的離心率，求的最小值。
例1. 已知橢圓內有一點a（2，1），f是橢圓c的左焦點，p為橢圓c上的動點，求的最小值。
分析：注意到式中的數值「」恰為，則可由橢圓的第二定義知等於橢圓上的點p到左準線的距離。這種方法在本期《橢圓中減少運算量的主要方法》一文中已經介紹過，這裡不再重複，答案為。
二、的最值
若a為橢圓c內一定點（異於焦點），p為c上的乙個動點，f是c的乙個焦點，求的最值。
例2. 已知橢圓內有一點a（2，1），f為橢圓的左焦點，p是橢圓上動點，求的最大值與最小值。
解：如圖1，設橢圓的右焦點為，可知其座標為（3，0）
圖1由橢圓的第一定義得：
可知，當p為的延長線與橢圓的交點時，最大，最大值為，當p為的延長線與橢圓的交點時，最小，最小值為。
故的最大值為，最小值為。
三、的最值
若a為橢圓c外一定點，為c的一條準線，p為c上的乙個動點，p到的距離為d，求的最小值。
例3. 已知橢圓外一點a（5，6），為橢圓的左準線，p為橢圓上動點，點p到的距離為d，求的最小值。
解：如圖2，設f為橢圓的左焦點，可知其座標為
圖2根據橢圓的第二定義有：，即
可知當p、f、a三點共線且p**段af上時，最小，最小值。
故的最小值為10。
四、橢圓上定長動弦中點到準線距離的最值
例4. 定長為的線段ab的兩個端點分別在橢圓上移動，求ab的中點m到橢圓右準線的最短距離。
解：設f為橢圓的右焦點，如圖3，作於a」，bb」⊥於b」，mm」⊥於m」圖3則
當且僅當ab過焦點f時等號成立。
故m到橢圓右準線的最短距離為。
評注：是橢圓的通徑長，是橢圓焦點弦長的最小值，是ab能過焦點的充要條件。
橢圓中減少運算量的主要方法
橢圓中減少運算量提高計算速度有多種方法，以下的四種主要方法比較常用，能夠有效地減少運算量，希望同學們切實掌握。
一、追根溯源，回歸定義
橢圓中許多性質都是由定義派生出來的，如果能夠從其定義出發，挖掘它的性質，把定量的計算和定性的分析有機地結合起來，則可以大大地減少運算量。
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