知識要點小結：知識點一：橢圓的定義
平面內乙個動點到兩個定點、的距離之和等於常數,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.
注意：若，則動點的軌跡為線段；
若，則動點的軌跡無圖形.
知識點二：橢圓的標準方程
1．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程： ，其中
2．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程： ，其中；注意：1．只有當橢圓的中心為座標原點，對稱軸為座標軸建立直角座標系時， 才能得到橢圓的標準方程；
2．在橢圓的兩種標準方程中，都有和；
3．橢圓的焦點總在長軸上.
當焦點在軸上時，橢圓的焦點座標為，；
當焦點在軸上時，橢圓的焦點座標為，
知識點三：橢圓的簡單幾何性質
橢圓： 的簡單幾何性質
（1）對稱性：對於橢圓標準方程：說明：
把換成、或把換成、或把、同時換成、、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，並且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。
（2）範圍：
橢圓上所有的點都位於直線和所圍成的矩形內，所以橢圓上點的座標滿足，。
（3）頂點：①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。
②橢圓與座標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，座標分別為 ，，，
③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。
（4）離心率：
①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。
②因為，所以的取值範圍是。越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近於0，就越接近0，從而越接近於，這時橢圓就越接近於圓。 當且僅當時，，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，方程為。
注意： 橢圓的影象中線段的幾何特徵（如下圖）：（1）；；；
（2）；；；
（3）；；；
知識點四：橢圓與的區別和聯絡
注意：橢圓， 的相同點：形狀、大小都相同；引數間的關係都有和，；不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點座標也不相同。規律方法： 1．如何確定橢圓的標準方程？
任何橢圓都有乙個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在座標原點，對稱軸是座標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在座標軸上。
確定乙個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件；乙個定位條件焦點座標，由焦點座標的形式確定標準方程的型別。
2．橢圓標準方程中的三個量的幾何意義
橢圓標準方程中，三個量的大小與座標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關係為：，，且。
可借助右圖理解記憶
顯然：恰構成乙個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。
3．如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看，的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個座標軸上。4．方程是表示橢圓的條件
方程可化為，即，所以只有a、b、c同號，且ab時，方程表示橢圓。當時，橢圓的焦點在軸上；當時，橢圓的焦點在軸上。
5．求橢圓標準方程的常用方法： ①待定係數法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的型別，設出標準方程，再由條件確定方程中的引數的值。其主要步驟是「先定型，再定量」；
②定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什麼圖形，然後再根據定義確定方程。
6．共焦點的橢圓標準方程形式上的差異
共焦點，則c相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設為，此類問題常用待定係數法求解。
7．判斷曲線關於軸、軸、原點對稱的依據：
① 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關於軸對稱；
② 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關於軸對稱；
③ 若把曲線方程中的、同時換成、，方程不變，則曲線關於原點對稱。
8．如何求解與焦點三角形△pf1f2（p為橢圓上的點）有關的計算問題？
思路分析：與焦點三角形△pf1f2有關的計算問題時，常考慮到用橢圓的定義及餘弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算解題。
將有關線段，有關角()結合起來，建立、之間的關係.
9．如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關係？
長軸與短軸的長短關係決定橢圓形狀的變化。離心率，因為，，用表示為。
顯然：當越小時，越大，橢圓形狀越扁；當越大，越小，橢圓形狀越趨近於圓。
（一）橢圓及其性質1、橢圓的定義
（1）平面內與兩個定點f1，f2的距離的和等於常數（大於|f1 f2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。
（2）一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是乙個內常數，那麼這個點的軌跡叫做橢圓其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數就是離心率
2、橢圓的標準方程
3、橢圓的引數方程
4、離心率: 橢圓焦距與長軸長之比
橢圓的準線方程
左準線右準線
（二）、橢圓的焦半徑橢圓的焦半徑公式：
（左焦半徑） （右焦半徑其中是離心率
焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式：
（ 其中分別是橢圓的下上焦點）
（三）、直線與橢圓問題（韋達定理的運用）1、弦長公式：
若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則
弦長例1. 已知橢圓及直線y＝x＋m。（1）當直線和橢圓有公共點時，求實數m的取值範圍；
（2）求被橢圓截得的最長弦所在的直線的方程。
2、已知弦ab的中點，研究ab的斜率和方程ab是橢圓＋＝1(a>b>0)的一條弦，中點m座標為(x0，y0)，
則ab的斜率為－.運用點差法求ab的斜率，設a(x1，y1)，
b(x2，y2)．a、b都在橢圓上，∴兩式相減得
＋＝0，∴＋＝0，
即＝－＝－.故kab＝－.
例、過橢圓內一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。
（四）、四種題型與三種方法四種題型1：已知橢圓c：內有一點a（2，1），f是橢圓c的左焦點，p為橢圓c上的動點，求｜pa｜+｜pf｜的最小值。
2： 已知橢圓內有一點a（2，1），f為橢圓的左焦點，p是橢圓上動點，求｜pa｜+｜pf|的最大值與最小值。
3：已知橢圓外一點a（5，6），l為橢圓的左準線，p為橢圓上動點，點p到l的距離為d，求|pa|+的最小值。
4：定長為d()的線段ab的兩個端點分別在橢圓上移動，求ab的中點m到橢圓右準線的最短距離。
三種方法1：橢圓的切線與兩座標軸分別交於a,b兩點， 求三角形oab的最小面積 。
2：已知橢圓和直線 l:x-y+9=0 ，在l上取一點m ，經過點m且以橢圓的焦
點為焦點作橢圓，求m在何處時所作橢圓的長軸最短，並求此橢圓方程 。
3：過橢圓的焦點的直線交橢圓a,b兩點 ，求面積的最大值 。
課後同步練習
1.橢圓的焦點座標是 , 離心率是________，準線方程是
2.已知f1、f2是橢圓的兩個焦點，過f1的直線與橢圓交於m、n兩點，則△mnf2的周長為( )a．8b．16c．25d．32
3.橢圓上一點p到乙個焦點的距離為5，則p到另乙個焦點的距離為（ ）
a.5b.6c.4d.10
4.已知橢圓方程為,那麼它的焦距是 （ ）
a.6b.3c.3d.
5.如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那麼實數k的取值範圍是
a.（0，+∞） b.(0,2c.(1d.(0,1)
6．設為定點，||=6，動點m滿足，則動點m的軌跡是（ ）
a.橢圓b.直線c.圓d.線段
7.已知方程+=1，表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值範圍為 .
8.已知橢圓的兩個焦點座標是f1（-2，0），f2（2，0），並且經過點p（），則橢圓標準方程是
9.過點a（-1，-2）且與橢圓的兩個焦點相同的橢圓標準方程是
10.過點p（，-2），q（-2，1）兩點的橢圓標準方程是
11.若橢圓的離心率是，則k的值等於
12.已知△abc的頂點b、c在橢圓＋y2＝1上，頂點a是橢圓的乙個焦點，且橢圓的另外乙個焦點在bc邊上，則△abc的周長是
分別為橢圓+=1的左、右焦點，點p在橢圓上，△pof2是面積為的正三角形，則b2的值是
14.設m是橢圓上一點，f1、f2為焦點，，則
15.在給定橢圓中，過焦點且垂直於長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為
(abcd)
16.設是右焦點為的橢圓上三個不同的點，則「成等差數列」是「」的（ ）
（a）充要條件b）必要不充分條件
（c）充分不必要條件d）既非充分也非必要
17.如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分於七個點，是橢圓的乙個焦點，則
18、已知定點a（a，0），其中，它到橢圓上的點的距離的最小值為1，求a的值。
19、已知f1f2是橢圓的兩個焦點,p是橢圓上任一點.
(1)若∠f1pf2=,求△f1pf2的面積。
(2)求|pf1|·|pf2|的最大值。
橢圓知識點總結
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橢圓知識點複習總結
1.橢圓的定義 1 橢圓 焦點在軸上時 引數方程，其中為引數 焦點在軸上時 1 方程表示橢圓的充要條件是什麼？abc 0，且a，b，c同號，a b 例一 已知線段ab的兩個端點a，b分別在軸，軸上，ab 5，m是ab上的乙個點，且am 2，點m隨ab的運動而運動，求點m的運動軌跡方程 2.橢圓的幾何...