1. 知識要點小結：
知識點一：橢圓的定義
平面內乙個動點到兩個定點、的距離之和等於常數,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.
注意：若，則動點的軌跡為線段；
若，則動點的軌跡無圖形.
知識點二：橢圓的標準方程
1．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程： ，其中
2．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程： ，其中；注意：1．只有當橢圓的中心為座標原點，對稱軸為座標軸建立直角座標系時，才能得到橢圓的標準方程；
2．在橢圓的兩種標準方程中，都有和；
3．橢圓的焦點總在長軸上.
當焦點在軸上時，橢圓的焦點座標為，；
當焦點在軸上時，橢圓的焦點座標為，
4.一般方程是表示橢圓的條件
方程可化為，即，所以只有a、b、c同號，且ab時，方程表示橢圓。當時，橢圓的焦點在軸上；當時，橢圓的焦點在軸上。
知識點三：橢圓的簡單幾何性質
橢圓： 的簡單幾何性質
（1）對稱性：對於橢圓標準方程：說明：
把換成、或把換成、或把、同時換成、、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，並且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。
（2）範圍：
橢圓上所有的點都位於直線和所圍成的矩形內，所以橢圓上點的座標滿足，。
（3）頂點：①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。
②橢圓與座標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，座標分別為
③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。
（4）離心率：
①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。
②因為，所以的取值範圍是。越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近於0，就越接近0，從而越接近於，這時橢圓就越接近於圓。 當且僅當時，，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，方程為。
注意： 橢圓的影象中線段的幾何特徵（如下圖）：（1）；；；
（2）；；；
（3）；；；
知識點四：橢圓與的區別和聯絡
注意：橢圓， 的相同點：形狀、大小都相同；引數間的關係都有和，；不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點座標也不相同。
2.典型例題
一、已知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。
例1：已知橢圓的焦點是f1(0，－1)、f2(0,1)，p是橢圓上一點，並且pf1＋pf2＝2f1f2，求橢圓的標準方程。
解：由pf1＋pf2＝2f1f2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.
所以橢圓的標準方程是＋＝1.
2．已知橢圓的兩個焦點為f1(－1,0)，f2(1,0)，且2a＝10，求橢圓的標準方程．
解：由橢圓定義知c＝1，∴b＝＝.∴橢圓的標準方程為＋＝1.
二、未知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。
例：1. 橢圓的乙個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程．
分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置．
解：（1）當為長軸端點時，，，
橢圓的標準方程為：；
（2）當為短軸端點時，，，
橢圓的標準方程為：；
三、橢圓的焦點位置由其它方程間接給出，求橢圓的標準方程。
例．求過點(－3,2)且與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓的標準方程．
解：因為c2＝9－4＝5，所以設所求橢圓的標準方程為＋＝1.由點(－3,2)在橢圓上知＋＝1，所以a2＝15.所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
四、與直線相結合的問題，求橢圓的標準方程。
例： 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交於、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．
解：由題意，設橢圓方程為，
由，得，
∴，，，∴， ∴為所求．
五、求橢圓的離心率問題。
例乙個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率．
解： ∴，∴．
例已知橢圓的離心率，求的值．
解：當橢圓的焦點在軸上時，，，得．由，得．
當橢圓的焦點在軸上時，，，得．
由，得，即．∴滿足條件的或．
六、由橢圓內的三角形周長、面積有關的問題
例：1.若△abc的兩個頂點座標a(－4,0)，b(4,0)，△abc的周長為18，求頂點c的軌跡方程。
解：頂點c到兩個定點a，b的距離之和為定值10，且大於兩定點間的距離，因此頂點c的軌跡為橢圓，並且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故頂點c的軌跡方程為＋＝1.又a、b、c三點構成三角形，所以y≠0.
所以頂點c的軌跡方程為＋＝1(y≠0)
2．已知橢圓的標準方程是＋＝1(a>5)，它的兩焦點分別是f1，f2，且f1f2＝8，弦ab過點f1，求△abf2的周長．
因為f1f2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝，所以△abf2的周長為4a＝4.
3．設f1、f2是橢圓＋＝1的兩個焦點,p是橢圓上的點，且pf1:pf2＝2:1，求△pf1f2的面積．
解析：由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴pf1＋pf2＝2a＝6.又pf1∶pf2＝2∶1，∴pf1＝4，pf2＝2，由22＋42＝(2)2可知△pf1f2是直角三角形，故△pf1f2的面積為pf1·pf2＝×2×4＝4.
七、直線與橢圓的位置問題
例已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程．
解法一：設所求直線的斜率為，則直線方程為．代入橢圓方程，並整理得
．由韋達定理得．
∵是弦中點，∴．故得．
所以所求直線方程為．
解法二：設過的直線與橢圓交於、，則由題意得
①－②得
將③、④代入⑤得，即直線的斜率為．
所求直線方程為．
八、橢圓中的最值問題
例橢圓的右焦點為，過點，點在橢圓上，當為最小值時，求點的座標．
解：由已知：，．所以，右準線．
過作，垂足為，交橢圓於，故．顯然的最小值為，即為所求點，因此，且在橢圓上．故．所以．
3.規律方法：
1．求橢圓標準方程的常用方法：
①待定係數法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的型別，設出標準方程，再由條件確定方程中的引數的值。其主要步驟是「先定型，再定量」；
②定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什麼圖形，然後再根據定義確定方程。
2．共焦點的橢圓標準方程形式上的差異
共焦點，則c相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設為，此類問題常用待定係數法求解。
3．如何求解與焦點三角形△pf1f2（p為橢圓上的點）有關的計算問題？
思路分析：與焦點三角形△pf1f2有關的計算問題時，常考慮到用橢圓的定義及餘弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算解題。
將有關線段，有關角()結合起來，建立、之間的關係.
高二橢圓知識點總結
橢圓一 橢圓及其標準方程 1 橢圓的定義 平面內與兩定點f1，f2距離的和等於常數的點的軌跡叫做橢圓，即點集m 這裡兩個定點f1，f2叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫橢圓的焦距2c。時為線段，無軌跡 2 標準方程 焦點在x軸上 a b 0 焦點f c，0 焦點在y軸上 a b 0 焦點f 0,c 注意...
橢圓知識點小結
1 橢圓的第一定義 平面內乙個動點到兩個定點 的距離之和等於常數2a 這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意 若，則動點的軌跡為線段 若，則動點的軌跡無圖形.2 橢圓的標準方程 1 當焦點在軸上時，橢圓的標準方程 其中 2 當焦點在軸上時，橢圓的標準方程 其中...
高二選修之橢圓知識點
選修2 1橢圓 知識點一 橢圓的定義 平面內乙個動點到兩個定點 的距離之和等於常數 這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意 若，則動點的軌跡為線段 若，則動點的軌跡無圖形.知識點二 橢圓的標準方程 1 當焦點在軸上時，橢圓的標準方程 其中 2 當焦點在軸上時，...