第1講課題：橢圓
課型：複習鞏固上課時間：2023年10月3日
教學目標
（1）了解圓錐曲線的來歷；
（2）理解橢圓的定義；
（3）理解橢圓的兩種標準方程；
（4）掌握橢圓離心率的計算方法；
（5）掌握有關橢圓的引數取值範圍的問題；
教學重點：橢圓方程、離心率；
教學難點：與橢圓有關的引數取值問題；
知識清單
一、橢圓的定義：
(1) 橢圓的第一定義:平面內與兩定點的距離和等於常數
(大於）的點的軌跡叫做橢圓.
說明：兩個定點叫做橢圓的焦點；
兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
(2) 橢圓的第二定義：平面上到定點的距離與到定直線的距離之
比為常數，當時，點的軌跡是橢圓. 橢圓上一點到
焦點的距離可以轉化為到準線的距離.
二、橢圓的數學表示式：
;三、橢圓的標準方程：
焦點在軸: ；
焦點在軸: .
說明：是長半軸長，是短半軸長，焦點始終在長軸所在的數軸上，且滿足
四、二元二次方程表示橢圓的充要條件
方程表示橢圓的條件：
上式化為，.所以，只有同號，且時，方程表示橢圓；當時，橢圓的焦點在軸上；當時，橢圓的焦點在軸上.
五、橢圓的幾何性質（以為例）
1. 範圍: 由標準方程可知，橢圓上點的座標都適合不等式，即說明橢圓位於直線和所圍成的矩形裡（封閉曲線）.該性質主要用於求最值、軌跡檢驗等問題.
2.對稱性:關於原點、軸、軸對稱，座標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心。
3.頂點（橢圓和它的對稱軸的交點） 有四個：
4. 長軸、短軸：叫橢圓的長軸，是長半軸長； 叫橢圓的短軸，是短半軸長.
5.離心率
（1）橢圓焦距與長軸的比，（2）,，即.這是橢圓的特徵三角形，並且的值是橢圓的離心率.（3）橢圓的圓扁程度由離心率的大小確定，與焦點所在的座標軸無關.
當接近於1時，越接近於，從而越小，橢圓越扁；當接近於0時，越接近於0，從而越大，橢圓越接近圓；當時，，兩焦點重合，圖形是圓.
6.通徑（過橢圓的焦點且垂直於長軸的弦），通徑長為.
7.設為橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，當三點不在同一直線上時，構成了乙個三角形——焦點三角形. 依橢圓的定義知：.
例題選講
一、選擇題
1．橢圓的離心率為（ ）
a． bc． d．
2．設是橢圓上的點．若是橢圓的兩個焦點，則等於（ ）
a． 4b．5 c． 8 d．10
3．若焦點在軸上的橢圓的離心率為，
則m=（ ）
a． b． c． d．
4．已知△abc的頂點b、c在橢圓＋y2＝1上，頂點a是橢圓的乙個焦點，且橢圓的另外乙個焦點在bc邊上，則△abc的周長是（ ）
a．2 b．6 c．4 d．12
5．如圖，直線過橢圓的左焦點
f1和乙個頂點b，該橢圓的離心率為（ ）
a． b． c． d．
6．已知f1、f2是橢圓的兩個焦點，過f1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓於a、b兩點，若△abf2是正三角形，則這個橢圓的離心率是（ ）
a． b． c． d．
7．已知以f1（-2,0），f2（2,0）為焦點的橢圓與直線有且僅有乙個交點，則橢圓的長軸長為（ ）
a． b． cd．
二、填空題：
8． 在中，，．若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率
9． 已知橢圓中心在原點，乙個焦點為f（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是
10．在平面直角座標系中，已知頂點和，頂點在橢圓上，則
11．橢圓長軸上乙個頂點為a，以a為直角頂點作乙個內接於橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是
三、解答題
12．已知橢圓的乙個焦點為（0，2）求的值．
13．已知橢圓的中心在原點，且經過點，，求橢圓
的標準方程．
14．已知方程表示橢圓，求的取值範圍．
15．已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值範圍．
16. 求中心在原點，對稱軸為座標軸，且經過和兩點的橢圓方程．
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