高考遞推數列題型分類歸納解析
各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。我現在總結出幾種求解數列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。
型別1解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 已知數列滿足，，求。
變式: 已知數列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
（i）求a3, a5；（ii）求的通項公式.
型別2解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例1:已知數列滿足，，求。
例2:已知， ，求。
變式:（2004，全國i,理15．）已知數列，滿足a1=1， (n≥2)，則的通項
型別3 （其中p，q均為常數，）。
解法（待定係數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。
例:已知數列中，，，求.
變式:（2006，重慶,文,14）
在數列中，若，則該數列的通項
變式:（2006. 福建.理22.本小題滿分14分）
已知數列滿足
（i）求數列的通項公式；
（ii）若數列滿足證明：數列是等差數列；
（ⅲ）證明：
型別4 （其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。
解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定係數法解決。
例:已知數列中，,，求。
變式:（2006，全國i,理22,本小題滿分12分）
設數列的前項的和，
（ⅰ）求首項與通項；（ⅱ）設，，證明：
型別5 遞推公式為（其中p，q均為常數）。
解法一(待定係數法)：先把原遞推公式轉化為
其中s，t滿足
解法二(特徵根法)：對於由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特徵方程。若是特徵方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關於a、b的方程組）；當時，數列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關於a、b的方程組）。
解法一（待定係數——迭加法）:
數列：，，求數列的通項公式。
例:已知數列中，, ,，求。
變式:1.已知數列滿足
（i）證明：數列是等比數列；（ii）求數列的通項公式；
（iii）若數列滿足證明是等差數列
2.已知數列中，, ,，求
3.已知數列中，是其前項和，並且，
⑴設數列，求證：數列是等比數列；
⑵設數列，求證：數列是等差數列；⑶求數列的通項公式及前項和。
型別6 遞推公式為與的關係式。(或)
解法：這種型別一般利用與消去或與消去進行求解。
例：已知數列前n項和.
（1）求與的關係；（2）求通項公式.
（2）應用型別4（（其中p，q均為常數，））的方法，上式兩邊同乘以得：
由.於是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以
變式:（2006，陝西,理,20本小題滿分12分)
已知正項數列，其前n項和sn滿足10sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數列，求數列的通項an
變式: (2005,江西,文,22．本小題滿分14分）
已知數列的前n項和sn滿足sn－sn－2=3求數列的通項公式.
型別7解法：這種型別一般利用待定係數法構造等比數列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數列。
例:設數列：，求.
變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）
已知數列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3…
(ⅰ)令求數列
(ⅲ)設的前n項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在試求出不存在,則說明理由.
型別8解法：這種型別一般是等式兩邊取對數後轉化為，再利用待定係數法求解。
例：已知數列｛｝中， ，求數列
變式:（2005，江西,理,21．本小題滿分12分）
已知數列
（1）證明2）求數列的通項公式an.
變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分14分）
已知a1=2，點(an,an+1)在函式f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…
（1） 證明數列｛lg(1+an)｝是等比數列；
（2） 設tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求tn及數列｛an｝的通項；
記bn=，求｛bn｝數列的前項和sn，並證明sn+=1
型別9解法：這種型別一般是等式兩邊取倒數後換元轉化為。
例：已知數列｛an｝滿足：，求數列｛an｝的通項公式。
變式:（2006，江西,理,22,本大題滿分14分）
1.已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝
（1） 求數列｛an｝的通項公式；
（2） 證明：對於一切正整數n，不等式a1a2……an2n！
2、若數列的遞推公式為，則求這個數列的通項公式。
3、已知數列{}滿足時，，求通項公式。
4、已知數列｛an｝滿足：，求數列｛an｝的通項公式。
5、若數列｛a｝中，a=1，a= n∈n，求通項a．
型別10
解法：如果數列滿足下列條件：已知的值且對於，都有（其中p、q、r、h均為常數，且），那麼，可作特徵方程,當特徵方程有且僅有一根時,則是等差數列;當特徵方程有兩個相異的根、時，則是等比數列。
例：已知數列滿足性質：對於且求的通項公式.
例：已知數列滿足：對於都有
（1）若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數列不存在？
變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）
數列記（ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （ⅱ）求數列的通項公式及數列的前n項和
型別11或
解法：這種型別一般可轉化為與是等差或等比數列求解。
例：（i）在數列中，，求 （ii）在數列中，，求
型別12 歸納猜想法
解法：數學歸納法
變式:（2006，全國ii,理,22,本小題滿分12分）
設數列｛an｝的前n項和為sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為sn－1，n＝1，2，3，…
（ⅰ）求a1，a2；
（ⅱ）｛an｝的通項公式
型別13雙數列型
解法：根據所給兩個數列遞推公式的關係，靈活採用累加、累乘、化歸等方法求解。
例：已知數列中，；數列中，。當時，,，求,.
型別14週期型解法：由遞推式計算出前幾項，尋找週期。
例：若數列滿足，若，則的值為
變式:（2005，湖南,文，5）
已知數列滿足，則
a．0 b． c． d．
數列的求和
（一）主要知識：
1．直接法：即直接用等差、等比數列的求和公式求和。
（1）等差數列的求和公式：
（2）等比數列的求和公式（切記：公比含字母時一定要討論）
2．公式法：
3．錯位相減法：比如
4．裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。
常見拆項公式： ；
5．分組求和法：把數列的每一項分成若干項，使其轉化為等差或等比數列，再求和。
6．合併求和法：如求的和。
7．倒序相加法：
8．其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法等
（二）主要方法：
1．求數列的和注意方法的選取：關鍵是看數列的通項公式；
2．求和過程中注意分類討論思想的運用；
3．轉化思想的運用；
（三）例題分析：
[, ]
例1．求和：①
求數列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n項和
思路分析：通過分組，直接用公式求和。
解：①②（1）當時，
（2）當
③總結：運用等比數列前n項和公式時，要注意公比討論。
[, ]
例2．已知數列，求前n項和。
思路分析：已知數列各項是等差數列1，3，5，…2n-1與等比數列對應項積，可用錯位相減法求和。
解：當 當
錯位相減法：如果數列的通項是由乙個等差數列的通項與乙個等比數列的通項相乘構成，那麼常選用錯位相減法（這也是等比數列前和公式的推導方法）.
例4、 求和
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：
∴例5、求數列前n項的和.
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設設制錯位）
①－②得錯位相減）
∴例2、（2023年全國ⅰ第19題第（2）小題，滿分6分）
已知，求數列｛an｝的前n項和sn.
解： ①
②—①得
小結：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數列的公比；②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和的公式求和.
針對訓練4、求和：
[, ]
例3.求和
思路分析:分式求和可用裂項相消法求和.
解: 練習:求答案:
裂項相消法：如果數列的通項可「**成兩項差」的形式，且相鄰項**後相關聯，那麼常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：
①；②；
③，；④；⑤；
⑥.例6、 求數列的前n項和.
解：設裂項）
則裂項求和）
＝＝例7、 在數列中，，又，求數列的前n項的和.
解： ∵
裂項）∴ 數列的前n項和
裂項求和）
＝＝裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）(6)
[例9] 求數列的前n項和.
解：設裂項）
數列知識點及習題
數列1 數列 按照一定順序排列著的一列數 2 數列的項 數列中的每乙個數 3 有窮數列 項數有限的數列 4 無窮數列 項數無限的數列 5 遞增數列 從第2項起，每一項都不小於它的前一項的數列 6 遞減數列 從第2項起，每一項都不大於它的前一項的數列 7 常數列 各項相等的數列 8 擺動數列 從第2項...
數列知識點的習題
1數列的前n項和為sn，若a1 1,an 1 3sn n 1 則a6 a 3 44b 3 44 1 c 44d 44 1 2植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10公尺，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現將樹坑從1到20依次編號，為使各位同學從各自樹坑前來領取...
等差數列知識點及習題
第06課等差數列 1.等差數列 一般地，如果乙個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同乙個常數，那麼這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差.2.等差中項 由三個數組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列.這時，叫做的等差中項.3.等差數列的通項公式 一般地，如果等差數列的首項是，公差...