等比數列
知識梳理：
1、等比數列的定義：，稱為公比
2、通項公式：
，首項：；公比：
推廣：3、等比中項：
（1）如果成等比數列，那麼叫做與的等差中項，即：或
注意：同號的兩個數才有等比中項，並且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數）
（2）數列是等比數列
4、等比數列的前項和公式：
（1）當時，
（2）當時，
（為常數）
5、等比數列的判定方法：
（1）用定義：對任意的，都有為等比數列
（2）等比中項：為等比數列
（3）通項公式：為等比數列
等比數列
6、等比數列的證明方法：
依據定義：若或為等比數列
8、等比數列的性質：
（1）當時
①等比數列通項公式是關於的帶有係數的類指數函式，底數為公比；
②前項和，係數和常數項是互為相反數的類指數函式，底數為公比。
（2）對任何，在等比數列中，有，特別的，當時，便得到等比數列的通項公式。因此，此公式比等比數列的通項公式更具有一般性。
（3）若，則。特別的，當時，得
注： （4）數列，為等比數列，則數列，，，，（為非零常數）均為等比數列。
（5）數列為等比數列，每隔項取出一項仍為等比數列
（6）如果是各項均為正數的等比數列，則數列是等差數列
（7）若為等比數列，則數列，，，成等比數列
（8）若為等比數列，則數列，，成等比數列
（9）①當時，
②當時，
③當時，該數列為常數列（此時數列也為等差數列）；
④當時,該數列為擺動數列.
（10）在等比數列中，當項數為時，
等比數列·例題解析
【例1】 已知sn是數列的前n項和，sn＝pn(p∈r，n∈n*)，那麼數列．
[ ]
a．是等比數列
b．當p≠0時是等比數列
c．當p≠0，p≠1時是等比數列
d．不是等比數列
說明數列成等比數列的必要條件是an≠0(n∈n*)，還要注
【例2】 已知等比數列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．
式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
【例5】 設a、b、c、d成等比數列，求證：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．
【例6】 求數列的通項公式：
(1)中，a1＝2，an+1＝3an＋2
(2)中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0
說明解題的關鍵是發現乙個等比數列，即化生疏為已知．(1)中發現是等比數列，(2)中發現是等比數列，這也是通常說的化歸思想的一種體現．
【例15】 已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．
(1)設a，b，c依次成等差數列，且公差不為零，求證：x，y，z成等比數列．
(2)設正數x，y，z依次成等比數列，且公比不為1，求證：a，b，c成等差數列．
等比數列
一、選擇題：
1．是等比數列，下面四個命題中真命題的個數為
①也是等比數列can}(c≠0)也是等比數列
③{}也是等比數列lnan}也是等比數列
a．4 b．3 c．2 d．1
2．等比數列中，已知a9 =－2，則此數列前17項之積為
a．216b．－216 c．217 d．－217
3．等比數列｛an｝中，a3=7，前3項之和s3=21， 則公比q的值為
a．1 b．－ c．1或－1 d．－1或
4．在等比數列中，如果a6=6，a9=9，那麼a3等於
a．4 b． c． d．2
5．若兩數的等差中項為6，等比中項為5，則以這兩數為兩根的一元二次方程為
a．x2－6x＋25=0 b．x2＋12x＋25=0
c．x2＋6x－25=0 d．x2－12x＋25=0
6．某工廠去年總產a，計畫今後5年內每一年比上一年增長10%，這5年的最後一年該廠的總產值是（ ）
a．1.1 4 ab．1.1 5 a c．1.1 6 ad． (1＋1.1 5)a
7．等比數列中，a9＋a10=a(a≠0)，a19＋a20=b，則a99＋a100等於
a． b．()9 c． d．()10
8．已知各項為正的等比數列的前5項之和為3，前15項之和為39，則該數列的前10項之和為
a．3 b．3 c．12 d．15
9．某廠2023年12月份產值計畫為當年1月份產值的n倍，則該廠2023年度產值的月平均增長率為
a． b． c． d．
10．已知等比數列中，公比，且，那麼等於 （ ）
abcd．
11．等比數列的前n項和sn=k·3n＋1，則k的值為
a．全體實數 b．－1 c．1 d．3
二、填空題：
12．在等比數列中，已知a1=，a4=12，則qan
13．在等比數列中，an＞0，且an＋2=an＋an＋1，則該數列的公比q
14．在等比數列｛an｝中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比為整數，求a10
15．數列｛｝中，且是正整數)，則數列的通項公式
三、解答題：
16．已知數列滿足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈n*)
(1) 求證數列是等比數列；
(2) 求的通項公式．
17．在等比數列｛an｝中，已知sn＝48，s2n＝60，求s3n．
18．在等比數列｛an｝中，a1＋an=66，a2·an－1=128，且前n項和sn=126，求n及公比q．
參***
一、選擇題： bdcad bacdb bc
二、填空題：13.2， 3·2n－2． 14.． 15.512 ．16.．
三、解答題：
17.(1)證明： 由an＋1=2an＋1得an＋1＋1=2(an＋1)
又an＋1≠0 ∴=2
即為等比數列．
(2)解析： 由(1)知an＋1=(a1＋1)qn－1
即an=(a1＋1)qn－1－1=2·2n－1－1=2n－1
18.解析： 由a1＋a2＋…＋an＝2n－1
n∈n*知a1＝1
且a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1
由①－②得an＝2n－1，n≥2
又a1＝1，∴an＝2n－1，n∈n*
＝4 即｛an2｝為公比為4的等比數列
∴a12＋a22＋…＋an2＝
19.解析一： ∵s2n≠2sn，∴q≠1
②÷①得：1＋qn＝即qn
③代入①得＝64
∴s3n＝(1－q3n)＝64(1－)＝63
解析二： ∵｛an｝為等比數列
∴(s2n－sn)2＝sn(s3n－s2n)
∴s3n＝＋60＝63
20.解析：當x=1時，sn=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2
當x≠1時，∵sn=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1， ①
等式兩邊同乘以x得：
xsn=x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)xn． ②
①－②得：
(1－x)sn=1＋2x(1＋x＋x2＋…＋xn－2)－(2n－1)xn=1－(2n－1)xn＋，
∴sn=．
21.解析：∵a1an=a2an－1=128，又a1＋an=66，
∴a1、an是方程x2－66x＋128=0的兩根，解方程得x1=2，x2=64，
∴a1=2，an=64或a1=64，an=2，顯然q≠1．
若a1=2，an=64，由=126得2－64q=126－126q，
∴q=2，由an=a1qn－1得2n－1=32， ∴n=6．
若a1=64，an=2，同理可求得q=，n=6．
綜上所述，n的值為6，公比q=2或．
等比數列知識點例題與練習
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等比數列知識點總結
知識梳理 1 等比數列的定義 稱為公比 2 通項公式 首項 公比 推廣 3 等比中項 1 如果成等比數列，那麼叫做與的等差中項，即 或 注意 同號的兩個數才有等比中項，並且它們的等比中項有兩個 兩個等比中項互為相反數 2 數列是等比數列 4 等比數列的前項和公式 1 當時，2 當時，為常數 5 等比...
等比數列練習
一 等差數列的概念 一般的，如果乙個數列從第 項起，每一項與它的前一項的比等於同乙個 那麼這個數列叫做等比數列，這個常數q q0 叫做等比數列的公比。二 等比數列的定義表示式 在數列中，若，則是 等比數列，易知q 例 判斷下列數列是否為等差數列 1 2，2，2，2，2，2 1，2，4，8，3 三 等...