數列是高考試題中的重頭戲,每年的全國及各地的考題中必有涉及. 從內容上看主要考查等差(比)數列的定義、通項、前項和公式、等差(比)數列的中項及數列的性質,佔分值約17分. 因此學好數列這塊知識顯得尤為重要.
為了讓學生更好地掌握數列,現將等差(比)數列的有關知識歸納總結如下.
1. 等差數列的定義與性質
定義:(為常數),
等差中項:成等差數列
前項和性質:是等差數列
(1)若,則
(2)數列仍為等差數列,仍為等差數列,公差為;
(3)若三個成等差數列,可設為
(4)若是等差數列,且前項和分別為,則
(5)為等差數列(為常數,是關於的常數項為0的二次函式)的最值可求二次函式的最值;或者求出中的正、負分界項,即:當,解不等式組可得達到最大值時的值.
當,由可得達到最小值時的值.
(6)項數為偶數的等差數列,有
,.(7)項數為奇數的等差數列,有
, ,.
2. 等比數列的定義與性質
定義:(為常數,),.
等比中項:成等比數列,或.
前項和:(要注意!)
性質:是等比數列
(1)若,則
(2)仍為等比數列,公比為.
注意:由求時應注意什麼?
時,;時,.
3.求數列通項公式的常用方法
(1)求差(商)法
如:數列,,求解時時
①—②得:,∴,∴
[練習]數列滿足,求
注意到,代入得;又,∴是等比數列,
時,(2)疊乘法
如:數列中,,求
解 ,∴又,∴.
(3)等差型遞推公式
由,求,用迭加法
時,兩邊相加得
∴[練習]數列中,,求()
(4)等比型遞推公式
(為常數,)
可轉化為等比數列,設
令,∴,∴是首項為為公比的等比數列
∴,∴(5)倒數法
如:,求
由已知得:,∴
∴為等差數列,,公差為,∴,
∴4. 求數列前n項和的常用方法
(1) 裂項法
把數列各項拆成兩項或多項之和,使之出現成對互為相反數的項.
如:是公差為的等差數列,求
解:由∴
[練習]求和:
(2)錯位相減法
若為等差數列,為等比數列,求數列(差比數列)前項和,可由,求,其中為的公比.
如①—②
時,,時,
(3)倒序相加法
把數列的各項順序倒寫,再與原來順序的數列相加.
相加[練習]已知,則
由∴原式
數列知識點總結
1.等差數列的定義與性質 定義 為常數 等差中項 成等差數列 前項和性質 是等差數列 1 若,則 2 數列仍為等差數列,仍為等差數列,公差為 3 若三個成等差數列,可設為 4 若是等差數列,且前項和分別為,則 5 為等差數列 為常數,是關於的常數項為0的二次函式 的最值可求二次函式的最值 或者求出中...
數列總結知識點
數列的基本性質 等差數列 1.等差數列的判定方法 1 用定義 對任意的n,都有 d為常數 為等差數列 2 n 為等差數列 3 kn b k,b為常數 即為關於n的一次函式 為等差數列 2.常用性質 1 若數列,為等差數列,則數列,k,b為非零常數 均為等差數列.2 對任何m,n,在等差數列中,有,特...
數列知識點總結
1.等差數列的定義與性質 定義 為常數 等差中項前項和 性質 是等差數列 1 若,則 2 數列仍為等差數列 仍為等差數列,公差為 3 若三個成等差數列,可設為 4 若是等差數列,且前項和分別為,則 5 為等差數列 為常數 d 2a 的最值可求二次函式的最值 即 a 0 n b 2a 最大值所在的項數...