一)等差數列
1.等差數列的定義：（d為常數）（）；
2．等差數列通項公式：
首項:，公差:d，末項:
推廣：． 從而；
3．等差中項
（1）如果，，成等差數列，那麼叫做與的等差中項．即：或
（2）等差中項：數列是等差數列
4．等差數列的前n項和公式：
（其中a、b是常數，所以當d≠0時，sn是關於n的二次式且常數項為0）
特別地，當項數為奇數時，是項數為2n+1的等差數列的中間項
（項數為奇數的等差數列的各項和等於項數乘以中間項）
5．等差數列的判定方法
（1） 定義法：若或(常數)是等差數列．
（2） 等差中項：數列是等差數列．
（3） 數列是等差數列（其中是常數）。
（4） 數列是等差數列,（其中a、b是常數）。
7.等差數列的性質：
（1）當公差時，等差數列的通項公式是關於的一次函式，且斜率為公差；前和是關於的二次函式且常數項為0.
（2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。
（3）當時,則有，特別地，當時，則有.
（4）若、為等差數列，則都為等差數列
(5) 若{}是等差數列，則，…也成等差數列
（6）數列為等差數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等差數列
（2）等比數列
1. 等比數列的定義：，稱為公比
2. 通項公式：
，3. 等比中項
（1）如果成等比數列，那麼叫做與的等差中項．即：或
注意：同號的兩個數才有等比中項，並且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數）
（2）數列是等比數列
4. 等比數列的前n項和公式：
(1) 當時，
(2) 當時，
5. 等比數列的判定方法
（1）用定義：對任意的n,都有為等比數列
（2） 等比中項：（0）為等比數列
7. 等比數列的性質
(1) 若m+n=s+t (m, n, s, t),則.特別的,當n+m=2k時,得
注： (2) 列,為等比數列,則數列, , , (k為非零常數) 均為等比數列.
(3) 數列為等比數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數列
(7) 若為等比數列,則數列，，，成等比數列
(9) ①當時當時，
③當q=1時,該數列為常數列（此時數列也為等差數列）;
④當q<0時,該數列為擺動數列.
(10)在等比數列中, 當項數為2n (n)時, ,.
(11)若是公比為q的等比數列,則
（三）數列求和的基本方法和技巧
一、公式法
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法。
1、 差數列求和公式：
2、等比數列求和公式：
34、4、
例 ：已知，求的前n項和.
解：由 由等比數列求和公式得
＝＝1－
二、錯位相減
這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用於求數列的前n項和，其中、分別是等差數列和等比數列。
例：求數列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a為常數)的前n項和。
解：若a=0, 則sn=0
若a=1,
則sn=1+2+3+…+n
若a≠0且a≠1
則sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan
∴asn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1
∴(1-a) sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1
=∴sn=
當a=0時，此式也成立。
∴sn=
三、倒序相加
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將乙個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個。等差數列的前n相和就是利用倒序相加法得出來的。
四、分組求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可。另外：sn=
可以拆成：sn=（1+2+3+…+n）+()
五、裂項相消法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解（裂項）如：
（1） （2）
（3） （4）
(5)例：求數列，，，…，，…的前n項和s
解：∵=）
sn===解析：要先觀察通項型別，在裂項求和，而且要注意剩下首尾兩項，還是剩下象上例中的四項，後面還很可能和極限、求引數的最大小值聯絡。
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