數列高考知識點大掃瞄
數列基本概念
數列是一種特殊函式，對於數列這種特殊函式，著重討論它的定義域、值域、增減性和最值等方面的性質，依據這些性質將數列分類：
依定義域分為：有窮數列、無窮數列；
依值域分為：有界數列和無界數列；
依增減性分為遞增數列、遞減數列和擺動數列。
數列的表示方法：列表法、圖象法、解析法（通項公式法及遞推關係法）；
數列通項：
2、等差數列
1、定義當,且時，總有，d叫公差。
2、通項公式
1）、從函式角度看是n的一次函式，其圖象是以點為端點, 斜率為d斜線上一些孤立點。
2）、從變形角度看 , 即可從兩個不同方向認識同一數列，公差為相反數。
又,相減得，即.
若 n>m，則以為第一項，是第n-m+1項，公差為d；
若n 3）、從發展的角度看若是等差數列，則，, 因此有如下命題：在等差數列中，若, 則.
3、前n項和公式
由，相加得還可表示為，是n的二次函式。
特別的，由可得。
3、等比數列
1、 定義當,且時，總有, q叫公比。
2、通項公式：, 在等比數列中，若, 則.
3、前n項和公式:
由， 兩式相減，
當時， ；當時 ， 。
關於此公式可以從以下幾方面認識：
①不能忽視成立的條件：。特別是公比用字母表示時，要分類討論。②公式推導過程中，所使用的「錯位相消法」，可以用在相減後所得式子能夠求和的情形。
如，公差為d 的等差數列， ，則，
相減得，
當時，，
當時 ，；
3）從函式角度看是n的函式，此時q和是常數。
4、等差與等比數列概念及性質對照表
5、遞推數列表示數列中相鄰的若干項之間關係的式子叫數列遞推公式。作為特殊的函式，數列可用遞推式表示。求遞推數列通項公式常用方法：
公式法、歸納法、累加法、累乘法。特別的，累加法是求形如遞推數列的基本方法，其中數列可求前n項和，即；累乘法是求形如遞推數列通項公式的基本方法，其中數列可求前n項積，即.
第一節等差數列的概念、性質及前n項和
題根一等差數列中， ，求s20
[思路]等差數列前n項和公式：
1、 由已知直接求a1 ，公差d.
2、 利用性質
[解題 ] 由 ， ，得 ，
，。[收穫] 靈活應用通項性質可使運算過程簡化。
[請你試試 1——1]
1、 等差數列 滿足，則有 （ ）
a、 b、 c、 d、
2、 等差數列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求。
第1變求和方法——倒序相加法
[變題1] 等差數列共10項， ，，求sn.
[思路] 已知數列前四項和與後四項和，結合通項性質，聯想sn公式推導方法。
[解題] 已知，，
又，得 ，，
[收穫] 1、重視倒加法的應用，恰當運用通項性質：，快捷準確；
3、 求出後運用「整體代換」手段巧妙解決問題。
[請你試試 1——2]
1、 等差數列共2k+1項，所有奇數項和為，所有偶數項和為，求： 的值。
2、 等差數列前n項和為18 ，若, , 求項數n .
3、 求由 1,2,3,4四個數字組成的無重複數字的所有三位數的和。
4、 求和。
第2變已知前n項和及前m項和，如何求前n+m項和
[變題2] 在等差數列中，sn=a,**=b,(m>n)，求sn+m的值。
[思路]下標存在關係：m+n=m+n, 這與通項性質是否有關？
[解題] 由sn=a,**=sn+a n+1+an+2+……+am=b 得 a n+1+an+2+……+am =b-a,
即， 得
由(n+1)+m=1+(n+m得an+1+am=a1+am+n
故[請你試試 1——3]
1、在等差數列中，，，求。
2、在等差數列中，，，求。
第3變已知已知前n項和及前2n項和，如何求前3n項和
[變題3] 在等差數列中，，，求
[思路] 由尋找之間的關係。
[解題] 設數列公差為d
所以成等差數列，公差100d , 於是，得。
[收穫] 1、在等差數列中，成等差數列，即，，，……，成等差數列，且。
3、 可推廣為，，……，。
[請你試試 1——4]
1、在等差數列中，，，求
2、在等差數列中，，，求
3、在等差數列中，，，求及。
4、數列中，，，求。
5、等差數列共有3k項，前2k項和 ，後2k項和，求中間k項和。
第4變遷移變換重視sx=ax2+bx 的應用
[變題4] 在等差數列中，sn=m,，**=n,(m>n)，求sn+m的值。
[思路] 等差數列前n項和公式是關於n的二次函式，若所求問題與無關時，常設為s=an2+bn形式。
[解題] 由已知可設 sn=an2+bn=m **=am2+bm=n ,
兩式相減 ，得 a(n+m)(n-m)+b(n-m)=m-n , 又m>n , 所以，
得 。
[收穫] 「整體代換」設而不求，可以使解題過程優化。
[請你試試 1——5]
1、 在等差數列中，，，求
2、 在等差數列中，，，求
3、 在等差數列中，，，求當n為何值時，有最大值
第5變歸納總結，發展提高
[題目] 在等差數列中，sn=a,**=b,(m>n)，求sn+m的值。（仍以變題2為例）
除上面利用通項性質求法外，還有多種方法。現列舉例如下：
1、 基本量求解：
由，相減得,
代入得。
2、利用等差數列前x項和公式sx=ax2+bx求解
由sx=ax2+bx，得 sn=an2+bn, **=am2+bm
兩式相減 ，得 a(n+m)(n-m)+b(n-m)=a-b
即故3、利用關係式求解
由知與n成線性關係，從而點集中的點共線，即(n,),
(m,),(m+n,)共線，則有即，
化簡, 得 ， 即.
4、利用定比分點座標公式求解
由a(n,), b(m,), p(m+n,)三點共線,將點p看作有向線段的定比分點,則 ，可得,
即.[請你試試 1——6]
若sn是等差數列的前n項和，s2=3，s6=4 ，則s12______.
第二節等比數列的概念、性質及前n項和
題根二等比數列 ，, 求。
[思路] 1、由已知條件聯立，求，從而得
2、由等比數列性質，知成等比數列。
[解題1] 由, 兩式相除，得 ，。
[解題2] 由成等比，得 。
[收穫] 1、靈活應用性質，是簡便解題的基礎；
2、等比數列中，序號成等差的項，成等比數列。
請你試試2 ——1]
等比數列 ，，若，則_______。
第1變連續若干項之和構成的數列仍成等比數列
[變題2] 等比數列 ，，求。
[思路] 等比數列中，連續若干項的和成等比數列。
[解題] 設，……，，
則是等比數列，，，即。
[收穫] 等比數列 ， 時，，…… 成等比數列，但總有。當k為偶數時，恆成立。
請你試試2——2]
1、等比數列 ， 時，，求。
2、等比數列 ， 時，，求。
第2變成等差，則成等差
[變題3] 等比數列 中，成等差，則成等差 。
[思路]成等差，得，要證等差，只需證。
[解題]由成等差，得，
當 q=1時， , 由得 ，。
由， 得 ，
整理得 ，，得 ，
兩邊同乘以， 得，即成等差。
[收穫] 1、等比數列 中，成等差，則成等差。
2、等比數列 中，成等差，則（其中）成等差
3、等比數列 中，成等差，則（其中）成等差。
請你試試2——3]
1、 等比數列 ，， 成等差， 求的值。
2、等比數列 ，成等差，求證成等比。
第3變是等比，也是等比數列
[變題4]數列中， 且，是等比數列，公比 q ()，求證() 也是等比數列。
[思路],欲證為等比數列，只需證為常數。
[解題得，而，，，（ ）, 故從第二項起，構成等比數列，公比為 q 。
第4變等比數列在分期付款問題中應用
問題顧客購買一售價為5000元的商品時，採用分期付款方法，每期付款數相同，購買後1個月付款一次，到第12次付款後全部付清。如果月利潤為0.8%，每月利息按複利計算，那麼每期應付款多少？
（精確到1元）
分析一：設每期應付款x元，則
第1次付款後，還欠 5000(1+0.8%)-x（元）
第2次付款後，還欠 [5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x（元）
第3次付款後，還欠 (1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x（元）
…………
最後一次付款後，款已全部還清，則 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x（1+0.8%）10-……-x(1+0.8%)-x=0 ，
移項 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x（1+0.8%）10+……+x(1+0.8%)+x ， 即
算得（元）
一般地，購買一件售價為a元的商品，採用分期付款時，要求在m個月內將款還至b元，月利潤為p，分n（n是m的約數）次付款，那麼每次付款數計算公式為 .
數列知識點歸納
一 數列的定義和基本問題 1 通項公式 用函式的觀念理解和研究數列，特別注意其定義域的特殊性 2 前n項和 3 通項公式與前n項和的關係 是數列的基本問題也是考試的熱點 二 等差數列 1 定義和等價定義 是等差數列 2 通項公式 推廣 對任意，3 前n項和公式 4 重要性質舉例 與的等差中項 1 在...
數列知識點歸納和練習
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