求數列的通項方法
1. 1.用觀察法（不完全歸納法）求數列的通項.
2. 運用等差（等比）數列的通項公式.
3. 已知數列前項和，則（注意：不能忘記討論）
4. 已知數列前項之積，一般可求，則＝（注意：不能忘記討論）.
5. 已知數列的遞推關係，研究與的關係式的特點，可以通過變形構造，得出新數列為等差或等比數列．
（1）遞推公式為，只要是可求的，就可以用累加法求．
（2）遞推公式是（為常數），可構造新的等比數列求，
（3）遞推公式是（為常數），此遞推公式，可兩邊除以，得，引做輔助數列（），得再解．
（4）遞推公式是，可變形為，就是，則可從，解得於是是公比為的等比數列．
（5）遞推公式是（）數列前項積可求，可用累乘法求．
（6）將遞推數列,取倒數變成的形式的方法叫倒數變換．
【練習題】
和的關係
【例1】已知下列兩數列的前n項和的公式，求的通項公式.
累加法：形如是可求和數列），用
【例2】已知數列滿足，求數列的通項公式.
累乘法：是可求積數列），利用恒等式
【例3】已知， ，求數列通項公式.
倒數變換：遞推數列，取倒數變成的形式
【例4】已知數列中，，，求數列的通項公式.
構造新數列/構造法:
（1）公式（為常數，，），變成
【例5】在數列中，，，求的通項公式.
（2）公式是，可變形為
【例6】已知數列滿足
（1）、證明：數列是等比數列；
（2）、求數列的通項公式；
（3）公式是（為常數），，可兩邊除以，得，引做輔助數列（），得再解．
【例7】已知數列滿足，，求數列的通項公式。
數列求和的常用方法
1. 公式法
2. 倒序相加法
如果乙個數列，與首末兩端「等距離」的兩項和相等，那麼求這個數列的前項和即用倒序相加法，如等差數列的前項和即是用此法推出來的．
3. 錯位相減
如果乙個數列的各項是由乙個等差或等比數列的對應項之積構成，那麼這個數列的前項和即可用此法來求，例如等比數列的前項和就是用此法推導的．
4. 列項相消
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以抵消，從而求得其和．
常見的拆項公式有
5. 分組求和
分組求和法就是把數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，即能分別求和然後再合併．
錯位相減
【例1】 等比數列的各項均為正數，且
（1）求數列的通項公式.（2a2改為3a2）
（2）設,求數列的前項和.
裂項相消
【例2】 設數列滿足且.
（1）求的通項公式；
（2）設，記，證明：.
【例3】 設b>0,數列滿足a1=b，.
（1）求數列的通項公式；
19．（本小題滿分14分）（13年）
設數列的前項和為.已知, ,.
(ⅰ) 求的值；
(ⅱ) 求數列的通項公式；
(ⅲ) 證明:對一切正整數,有.
【解析】(ⅰ) 依題意, ,又,所以；
(ⅱ) 當時, ,
兩式相減得
整理得,即,又
故數列是首項為,公差為的等差數列,
所以,所以.
(ⅲ) 當時, ；當時, ；
當時, ,此時
綜上,對一切正整數,有.
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