第二講數列
知識梳理
1. 數列：定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每個數稱為該數列的項。
通項公式：如果數列的第項與序號之間可以用乙個式子表示,那麼這個公式叫做這個數列的通項公式，即。
數列的前項和：。
通項的公式：
2.等差數列：定義：如果乙個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等於同乙個常數，這個數列叫做等差數列，常數稱為等差數列的公差.
=（常數）,證明數列是等差數列的重要工具。
通項公式：,時，為關於n的一次函式；＞0時，為單調遞增數列；＜0時，為單調遞減數列。 或 。
前n項和：，時，是關於n的不含常數項的一元二次函式。
等差數列的判定方法：
.定義法：（，是常數）是等差數列。
.中項法：()是等差數列。
⑤ 性質：.
若為等差數列，則，，，…仍為等差數列。公差為。
若為等差數列，則，，，…仍為等差數列。其公差為原公差的k2倍。
若a為a, b的等差中項，則有。
3.等比數列：定義：如果乙個數列從第二項起，每一項與它前一項的比等於同乙個常數，這個數列叫做等比數列，常數稱為等比數列的公比。
（常數），是證明數列是等比數列的重要工具。。
通項公式： (q=1時為常數列)。 或
前n項和：,需特別注意,公比為字母時要討論。
等比數列的判定方法：
.定義法：（，是常數）是等比數列。
.中項法：()且是等比數列。
⑤性質：. 。
.為等比數列，則，，，…仍為等比數列，公比為。
.為等比數列，則，，，…仍為等比數列，公比為。
. g為a,b的等比中項,。
4.數列求和的常用方法:
①.公式法: 利用等差、等比數列的前n項和公式進行求和．如。
②.分組求和法: 有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可。
如，可分別求出，和的和，然後把三部分加起來即可
③.錯位相減法: 如果數列｛an｝是等差數列，數列｛bn｝是等比數列，那麼用錯位相減法可求數列｛an bn｝的前n和．如，
…＋兩式相減得：，以下略。
④.裂項相消法: 將數列中的每一項拆裂成兩項之差，使拆裂後的項互相之間出現一些互為相反數的部分，求和時這些互為相反數的部分就能互相抵消，從而達到求和的目的．
如， 等。
⑤.倒序相加法. 如果乙個數列中，與首末兩端「等距離」的兩項之和(或「係數」 之和)等於首末兩項之和（或等於首末兩項「係數」 之和）， 那麼就可以把正著寫的和與倒著寫的和的兩個和式相加，從而可求出數列的前n和．
例：在1與2之間插入n個數，使這n+2個數成等差數列，
求：，（答案：）
***鞏固練習：
一、 選擇題：（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）．
1.設數列的前n項和，則的值為（ ）
a．15b． 16c． 49d．64
a【解析】.
【方法技巧】直接根據即可得出結論.
2.設等差數列的前n項和為,若,,則當取最小值時,n等於
a．6b.7c．8d.9
【答案】a
【解析】設該數列的公差為，則，解得，
所以，所以當時，取最小值。
【命題意圖】本題考查等差數列的通項公式以及前n項和公式的應用，考查二次函式最值的求法及計算能力。[**
3.等差數列中，若，則的值為（ ）
a．180 b．240c．360d．720
答案 c.
4.已知數列是公差為2的等差數列，且成等比數列，則為（ ）d
a．－2b．－3c．2d．3
5.已知等差數列的前項和為，若，則的值是（ ） c
a．-1bc．1 d．2
6.已知等比數列中，各項都是正數，且，成等差數列，則
abcd．
答案 c.
7.設等比數列的公比， 前n項和為，則（ ）
a. 2b. 4cd.
【答案】c
8.若為等差數列，是其前項和，且，則的值為（ ）
a． b． c． d．
【解析】 b；由，可得，∴．
9.設是公差不為0的等差數列，且成等比數列，則的前項和
abcd．
【答案】a
【解析】設數列的公差為，則根據題意得，解得或（捨去），所以數列的前項和
10.已知等差數列，等比數列，則該等差數列的公差為（ ）
a．或b．或 cd．
1【解析】 c；
，解得．
因此該等差數列的公差為．
11.公差不為零的等差數列的前項和為.若是的等比中項, ,則等於 ( )
a. 18b. 24c. 60d. 90
【答案】c
【解析】由得得,再由得則,所以,.故選c
12.已知是等比數列，，則=（ ）c
a.16（） b.6（） c.（） d.（）
13.設為等比數列的前項和，已知，，則公比（ ）
a．3b．4c．5d．6
【答案】 b解析：選b. 兩式相減得， ，.
14.已知是公比為的等比數列，且，，成等差數列. 則 （ ）a
a．1或 b．1cd ．
15.在等比數列中，，則公比q的值為（ ）
a． 2b． 3c． 4d． 8[**
【答案】a解析：
二、 填空題：（請把答案填在題中橫線上）
16.已知數列則 , 100． 5000；
17. 已知為等比數列前項和，，，則
18.設等差數列的前項和為，若，則 27 ．
19.在等比數列中,若公比,且前3項之和等於21,則該數列的通項公式
【答案】【解析】由題意知，解得，所以通項。
20.若數列滿足：，則前8項的和用數字作答）答案 225
.解析本題主要考查簡單的遞推數列以及數列的求和問題. 屬於基礎知識、基本運算的考查.
，易知，∴應填255.
21.設等差數列的前項和為，若則
解析為等差數列，答案 9
22.設{}為公比q>1的等比數列，若和是方程的兩根，則
答案 18.
23.已知等比數列的前三項依次為，，，則 ．
24.已知數列是等比數列，且，，，則數列的公比答案
三、解答題：（解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
25.已知數列是乙個等差數列，且，。
（1）求的通項；
（2）求前n項和的最大值。
解：（ⅰ）設的公差為，由已知條件，，解出，．
所以．（ⅱ）．
所以時，取到最大值．
26.等比數列{}的前n 項和為，已知,,成等差數列
（1）求{}的公比q； （2）求－＝3，求
解：（ⅰ）依題意有
由於 ，故
又，從而5分
（ⅱ）由已知可得故
從而10分
27.已知數列的前項和，數列滿足 ．
（ⅰ）求數列的通項；
（ⅱ）求數列的通項；
（ⅲ）若，求數列的前項和．
解：（ⅰ）∵,
∴． 當時，，
∴（ⅱ）∵
∴， ，
， ………
，以上各式相加得
．∵，∴． （ⅲ）由題意得
∴，∴，
∴∴．28.公差不為0的等差數列中，且成等比數列.
(i)求數列的通項公式和它的前20項和．
(ii) 求數列前n項的和.
解：(i)設數列的公差為，則
，，由成等比數列得，
即，整理得， 解得或
，於是．
(ii)
=29.已知等差數列滿足：，，的前項和為．
（ⅰ）求及；
（ⅱ）令=()，求數列的前項和．
【解析】（ⅰ）設等差數列的公差為d，因為，，所以有[**
，解得，
所以；==。
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以bn===，[**:學科網]
所以==，
即數列的前n項和=。
【命題意圖】本題考查等差數列的通項公式與前n項和公式的應用、裂項法求數列的和，熟練數列的基礎知識是解答好本類題目的關鍵。
30.等比數列中，已知
（i）求數列的通項公式；
（ⅱ）若分別為等差數列的第3項和第5項，試求數列的通項公式及前項和。
解：（i）設的公比為
由已知得，解得
（ⅱ）由（i）得，，則，
設的公差為，則有解得
從而 所以數列的前項和
31．已知數列是等差數列，
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前n項和sn.
答案 1．解（1）
（2）32. 在數列
（1）（2）設
（3）求數列
32.解（1）
（2）證法一：對於任意
數列是首項為，公差為1的等差數列.
證法二：（等差中項法）
（3）由（2）得，
，即設則
必修5數列知識點
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