必修5第三章不等式知識點整理
【知識點
一、不等關係與不等式】
1、；；．
2、不等式的基本性質
（1）（對稱性2）（傳遞性）
（3）（加法單調性） （4）（同向不等式相加）
（5）（異向不等式相減） （6）
（7）（乘法單調性） （8）（同向不等式相乘）
（異向不等式相除） （倒數關係）
（11）（平方法則）（12）（開方法則）．
3、不等式的解法
1）整式不等式的解法（根軸法）. 步驟：正化，求根，標軸，穿線，定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的討論.
(以a>0為例)
【知識點二：穿根法（零點分段法）】
求解不等式：
解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，並將各因式x的係數化「+」；(為了統一方便) ②求根，並將根按從小到大的在數軸上從左到右的表示出來；
③由右上方穿線（即從右向左、從上往下：偶次根穿而不過，奇次根一穿而過），經過數軸上表示各根的點（為什麼？）；
④若不等式（x的係數化「+」後）是「>0」,則找「線」在x軸上方的區間；若不等式是「<0」,則找「線」在x軸下方的區間.
（2）分式不等式的解法
首先標準化：移項通分化為》0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
其次轉化為整式不等式（組）
（3）無理不等式：轉化為有理不等式求解
（4）指數不等式：轉化為代數不等式
（5）對數不等式：轉化為代數不等式
（6）含絕對值不等式：
應用分類討論思想去絕對值； 應用數形思想；應用化歸思想等價轉化
基本形式：
①型如：|x|＜a (a＞0) 的不等式的解集為：
②型如：|x|＞a (a＞0) 的不等式的解集為：
變型：【高考例題1】：求解不等式
【高考例題2】：求解不等式：
4、設、是兩個正數，則稱為正數、的算術平均數，稱為正數、的幾何平均數．
5、均值不等式定理： 若，，則，即．
6、極值定理：設、都為正數，
則有：若（和為定值），則當時，積取得最大值．
若（積為定值），則當時，和取得最小值．
利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等.
7、常用的基本不等式：
8、幾個著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正數，那麼 （當僅當a=b時取等號）即：
平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均（a、b為正數）：特別地，（當a = b時，）
冪平均不等式：
（2）柯西不等式：
例如：.
9、常用不等式的放縮法：①
②10、不等式證明的幾種常用方法：比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構造法.
11、極值定理：設、都為正數，則有：
若（和為定值），則當時，積取得最大值．若（積為定值），則當時，和取得最小值．
例題：已知，求函式的最大值。
解：∵，∴
由原式可以化為：
當，即時取到「=」號
也就是說當時有
二、一元二次不等式及其解法
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函式影象來分析：
設ax2+bx+c=0的兩根為，f(x)=ax2+bx+c,那麼：
①若兩根都大於0，即，則有
②若兩根都小於0，即，則有
③若兩根有一根小於0一根大於0，即，則有
④若兩根在兩實數m,n之間，即，
則有⑤若兩個根在三個實數之間，即，
則有常由根的分布情況來求解出現在a、b、c位置上的引數
例如：若方程有兩個正實數根，求的取值範圍。
解：由①型得
所以方程有兩個正實數根時，。
又如：方程的一根大於1，另一根小於1，求的範圍。
解：因為有兩個不同的根，所以由
三、二元一次不等式（組）與簡單的線性
1、二元一次不等式：含有兩個未知數，並且未知數的次數是的不等式．
2、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．
3、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的和的取值構成有序數對，所有這樣的有序數對構成的集合．
4、在平面直角座標系中，已知直線，座標平面內的點．
若，，則點在直線的上方．
若，，則點在直線的下方．
5、在平面直角座標系中，已知直線．
（一）由b確定：
若，則表示直線上方的區域；表示直線下方的區域．
若，則表示直線下方的區域；表示直線上方的區域．
（二）由a的符號來確定：
先把x的係數a化為正後，看不等號方向：
①若是「>」號，則所表示的區域為直線l:的右邊部分。
②若是「<」號，則所表示的區域為直線l:的左邊部分。
（三）確定不等式組所表示區域的步驟：
①畫線：畫出不等式所對應的方程所表示的直線
②定測：由上面（一）（二）來確定
③求交：取出滿足各個不等式所表示的區域的公共部分。
例題：畫出不等式組所表示的平面區域。
6、線性約束條件：由，的不等式（或方程）組成的不等式組，是，的線性約束條件．
目標函式：欲達到最大值或最小值所涉及的變數，的解析式．
線性目標函式：目標函式為，的一次解析式．
線性規劃問題：求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值問題．
可行解：滿足線性約束條件的解．
可行域：所有可行解組成的集合．
最優解：使目標函式取得最大值或最小值的可行解．
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