第三章：不等式
§3.1、不等關係與不等式
1、不等式的基本性質
①（對稱性）
②（傳遞性）
③（可加性）
（同向可加性）
（異向可減性）
④（可積性）
⑤（同向正數可乘性）
（異向正數可除性）
⑥（平方法則）
⑦（開方法則）
⑧（倒數法則）
2、幾個重要不等式
①,（當且僅當時取號）. 變形公式：
②（基本不等式） ,（當且僅當時取到等號）.
變形公式：
用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件「一正、二定、三相等」.
③（三個正數的算術—幾何平均不等式）（當且僅當時取到等號）.
④（當且僅當時取到等號）.
⑤（當且僅當時取到等號）.
⑥（當僅當a=b時取等號）
（當僅當a=b時取等號）⑦其中
規律：小於1同加則變大，大於1同加則變小.
⑧⑨絕對值三角不等式
3、幾個著名不等式
①平均不等式：
,（當且僅當時取號）.
（即調和平均幾何平均算術平均平方平均）.
變形公式：
②冪平均不等式：
③二維形式的三角不等式：
④二維形式的柯西不等式： 當且僅當時，等號成立.
⑤三維形式的柯西不等式：
⑥一般形式的柯西不等式：
⑦向量形式的柯西不等式：
設是兩個向量，則當且僅當是零向量，或存在實數，使時，等號成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
設為兩組實數.是的任一排列，則
（反序和亂序和順序和）
當且僅當或時，反序和等於順序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函式、凹函式）
若定義在某區間上的函式,對於定義域中任意兩點有
則稱f(x)為凸（或凹）函式.
4、不等式證明的幾種常用方法
常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；
其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函式單調性法，數學歸納法等.
常見不等式的放縮方法：
捨去或加上一些項，如
將分子或分母放大（縮小），如
等.5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
解集的步驟：
一化：化二次項前的係數為正數.
二判：判斷對應方程的根.
三求：求對應方程的根.
四畫：畫出對應函式的圖象.
五解集：根據圖象寫出不等式的解集.
規律：當二次項係數為正時，小於取中間，大於取兩邊.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根標在數軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則
（時同理）
規律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解.
8、無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解⑴⑵
⑶⑷⑸規律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在於從「小」的一邊分析求解.
9、指數不等式的解法：
⑴當時,
⑵當時,
規律：根據指數函式的性質轉化.
10、對數不等式的解法
⑴當時,
⑵當時,
規律：根據對數函式的性質轉化.
11、含絕對值不等式的解法：
⑴定義法：
⑵平方法：
⑶同解變形法，其同解定理有：①②
③④規律：關鍵是去掉絕對值的符號.
12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：
規律：找零點、劃區間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最後取各段的並集.
13、含引數的不等式的解法
解形如且含引數的不等式時，要對引數進行分類討論，分類討論的標準有：
⑴討論與0的大小；
⑵討論與0的大小；
⑶討論兩根的大小.
14、恆成立問題
⑴不等式的解集是全體實數（或恆成立）的條件是：
①當時②當時
⑵不等式的解集是全體實數（或恆成立）的條件是：
①當時②當時
⑶恆成立
恆成立⑷恆成立
恆成立15、線性規劃問題
⑴二元一次不等式所表示的平面區域的判斷：
法一：取點定域法：
由於直線的同一側的所有點的座標代入後所得的實數的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側任取一特殊點（如原點），由的正負即可判斷出或表示直線哪一側的平面區域.
即：直線定邊界，分清虛實；選點定區域，常選原點.
法二：根據或，觀察的符號與不等式開口的符號，若同號， 或表示直線上方的區域；若異號，則表示直線上方的區域.[, ]
⑵二元一次不等式組所表示的平面區域：
不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面區域的公共部分.
⑶利用線性規劃求目標函式為常數）的最值：
法一：角點法：
如果目標函式（即為公共區域中點的橫座標和縱座標）的最值存在，則這些最值都在該公共區域的邊界角點處取得，將這些角點的座標代入目標函式，得到一組對應值，最大的那個數為目標函式的最大值，最小的那個數為目標函式的最小值
法二：畫——移——定——求：
第一步，在平面直角座標系中畫出可行域；第二步，作直線，平移直線（據可行域，將直線平行移動）確定最優解；第三步，求出最優解；第四步，將最優解代入目標函式即可求出最大值或最小值 .
第二步中最優解的確定方法：
利用的幾何意義：,為直線的縱截距.
①若則使目標函式所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最小值；
②若則使目標函式所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最大值.
⑷常見的目標函式的型別：
①「截距」型：
②「斜率」型：或
③「距離」型：或
或在求該「三型」的目標函式的最值時，可結合線性規劃與代數式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.
必修5不等式知識點
一 知識梳理 一 不等式與不等關係 1.不等式的主要性質 1 對稱性 2 傳遞性 3 加法法則 4 乘法法則 5 倒數法則 6 乘方法則 7 開方法則 2.應用不等式的性質比較兩個實數的大小 作差法 作商法 二 一元二次不等式及其解法 三 線性規劃 1.用二元一次不等式 組 表示平面區域 二元一次不...
必修五 不等式知識點總結
高中數學必修5 第三章不等式複習 一 不等式的主要性質 1 對稱性2 傳遞性 3 加法法則 4 乘法法則 5 倒數法則 6 乘方法則 7 開方法則 二 一元二次不等式和及其解法 一元二次不等式先化標準形式 化正 常用因式分解法 求根公式法求解一元二次不等式 順口溜 在二次項係數為正的前提下 大魚 吃...
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