高中數學必修5（數列、不等式、空間幾何體基礎知識點）
一、數列
1、數列中與之間的關係：
2、等差數列：
（1）等差數列的定義：如果乙個數列從第二項起,每一項與它前一項的差都等於同乙個常數,叫做等差數列,則這個數列叫做等差數列,這個常數叫做公差,通常用表示（）。
（2）、等差數列的基本公式：
① (用首項和公差表示)
② (用某一項和公差表示) .
(通項公式的基本特徵,其中一次項係數為這個數列的公差)
是等差數列
（3）等差數列的性質：
①等差數列的單調性:公差,單調遞增;公差,單調遞減; 公差,是常數列.
②等差中項：是等差數列若成等差，則特別的有：
③是等差數列，若,則;
④是等差數列前項和，則也是等差數列
即：公差為的等差數列
i、如果是等差數列,則,也是等差數列;
ii、如果,都是等差數列,則, ,都是等差數列;
iii、如果是等差數列在等距離的抽出一些項組成的新數列也是等差數列
即, ,也構成公差為的等差數列;
iv、項數為奇數項的等差數列的性質
①項數為奇數項的等差數列的各項的和等於其項數與中間一項的積.即.
②若項數為奇數的等差數列的奇數項的和為,偶數項的和為
則v、項數為偶數項的等差數列的性質
①若項數為奇數的等差數列的奇數項的和為,偶數項的和為
則vi、若三個數成等差數列,則三數可設為;若四數成等差數列,則這四個數可設為.
vii、設和分別是兩個等差數列,的前項和,則對任意有
3、等比數列：
（1）、等比數列的定義：若乙個數列從第二項起，每一項與它前一項的比等於同乙個常數.這個數列叫做等比數列,常數叫做等比數列的公比,即（為常數）
（2）、等比數列的通項公式
①、 (有首項和公比表示)
②、 (用數列中的某項表示)
如果,則.
④、前項公式是的數列是等比數列.
（3）、等比數列的性質
①、若, ,成等比數列,那麼叫做的等比中項,則
②、如果是等比數列，若,則.
③、是等比數列前項和，則也是等比數列
即：公比為的等比數列
④、如果是等比數列在等距離的抽出一些項組成的新數列也是等比數列
即, ,也構成公比為的等差數列;
4、數列的求和
（1）、常用求和方法
①、公式法：直接應用等差數列,等比數列的求和公式及與正整數有關的求和公式求和.
②、累加法：由若干個式子相加得到所需要求式子
③、拆項法：把乙個數列拆分成幾個可以直接求和的數列.
④、裂項法：把數列中的每一項**成兩項的差的形式,然後逐項消去中間項,只剩下前後的部分的項的和.
⑤、倒序相加法：如果乙個數列滿足與首末兩端等距離的兩項的和相等,可按些法求和.
⑥、錯位相減法：適合於求乙個等差數列和乙個等比數列的積構成的數列的求和.
（2）、常見拆項與裂項方法
(12) ;
(34)
二、不等式：
1 2、
3、變形：
三、空間幾何體的結構：
1、常見的多面體有：稜柱、稜錐、稜臺；常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓台、球。
2、稜柱：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做稜柱。
3、稜臺：用乙個平行於稜錐底面的平面去截稜錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做稜臺。
4、空間幾何體的三檢視和直觀圖：把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交於一點；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。
5、空間幾何體的表面積與體積
圓柱的表面積圓錐的表面積：
圓柱的體積圓錐的體積：
圓台的表面積：
圓台的體積稜臺的體積：
球的表面積球的體積：
四、直線與平面平面與平面的位置關係
1、平面的基本性質：
公理1若一條直線的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上的所有點都在這個平面內；
公理2若兩個平面有乙個公共點，那麼它們就有經過該公共點的一條公共直線；
公理3 經過不在同一條直線上的三點,有且只有乙個平面;
推論1 經過一條直線和直線外一點,有且只有乙個平面;
推論2 經過兩條相交直線,有且只有乙個平面;
推論3 經過兩條平行直線,有且只有乙個平面;
公理4 平行於同一條直線的兩條直線互相平行;
2、空間兩條直線的位置關係
①平行——在同一平面內，沒有公共點;
②相交——在同一平面內，有乙個公共點;
③異面——不同一平面內,沒有公共點.
④兩條異面直線所成的角
過空間任意一點作兩條異面直線的平行線,則這兩條直線所成的直角或銳角叫做兩異面直線所成的角,兩異面直線所成角的範圍是.
提示：求兩條異面直線的夾角的方法1，平移成共面直線解三角形；2建系利用向量
⑤如果兩異面直線所成的角是,則說這兩條直線垂直.
⑥兩異面直線的公垂線——與兩異面直線都相交且垂直的直線.
⑦兩異面直線的距離——夾在兩異面直線間的公垂線段的長度.
3、直線與平面的位置關係
①直線在平面內——直線與平面有無數個公共點;
②③直線和平面垂直，則直線和平面內的所有直線都垂直.
④直線和平面所成的角——平面的斜線和它在平面內的射影所成的角.
4、平面與平面的位置關係
①平面和平面平行——兩個平面沒有公共點.
②平面和平面相交——兩個平面沒有公共直線.
③從二面角的的稜上任意一點出發,在兩個麵內作這條稜的垂直,這兩條直線所成的角叫做二面角的平面角.
④如果兩個平面所成的二面角的大小是,則說這兩個平面垂直.
5、空間直線與空間平面的平行及垂直的判定和性質定理
①線面平行的判定定理：如果不在乙個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。（「線線平行線面平行」）
推理模式：
②線面平行性質定理：如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。（「線面平行線線平行」）
推理模式：。
③平面平行判定定理：如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行.
（「線面平行面面平行」）
推理模式：。
④兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那麼它們交線平行.
推理模式：。（「面面平行線線平行」）
推論一：若兩平面平行，則一平面內的任一直線平行於另一平面.
推論二：若兩個平面平行.則一平面內的任一直線平行於另一平面.
⑤直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。（「線線垂直線面垂直」）
推理模式：。
⑥直線與平面垂直的性質定理：若直線垂直平面，則此直線垂直這平面的所有直線。
性質一：如果平行線中一條直線垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於這個平面.
性質二：如果兩條直線同垂直於乙個平面，那麼這兩條直線平行.
二、正射影和三垂線定理：
1、三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。（⊥，⊥，得⊥）
2、三垂線定理的逆定理亦成立. （⊥，，得）
⑦兩個平面垂直判定：如果一條直線與乙個平面垂直，那麼經過這條直線的平
面垂直於這個平面.（「線面垂直面面垂直」）
推理模式：
推論：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.
⑧兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面垂直，那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線也垂直於另乙個平面.
推理模式： 或
推論一：垂直於同一條直線的兩個平面互相平行；平行於同一平面的兩個平面平行.
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