等差（等比）數列
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一、考點回顧
1．數列的概念，數列的通項公式與遞推關係式，等差數列和等比數列的概念、有關公式和性質。
2．判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：
(1)定義法：對於n≥2的任意自然數,驗證為同一常數。
(2)通項公式法：
①若，則為等差數列；
②若，則為等比數列；
③中項公式法：驗證都成立。
3．在等差數列中,有關sn的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當,d<0時，滿足的項數m使得取最大值.
(2)當,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
4．①數列通項公式的常用方法：累加法、累乘法、迭代法（或換元法）。
②數列求和的常用方法：公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項相消法、倒序相加法、累加累積法、歸納猜想證明法等。
5．數列的綜合應用：
⑴函式思想、方程思想、分類討論等思想在解決數列綜合問題時常常用到。
⑵數列與函式、數列與不等式的綜合、用數列知識解決實際問題等內容。
6．注意事項：
⑴證明數列是等差或等比數列常用定義，即通過證明或而得。
⑵注意與之間關係的轉化。如：
二、經典例題：
題型一：等差、等比數列的判定
例1：已知數列滿足a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不為0的常數，令bn＝。求證：數列是等差數列。
解：∵ an＝2a－ (n≥2)∴ bn＝ (n≥2)
∴ bn－bn－1＝ (n≥2)∴ 數列是公差為的等差數列．
例2：已知公比為3的等比數列與數列滿足，且，判斷是何種數列，並給出證明。
解：，即為等差數列。
題型二：等差、等比數列的基本運算
例3：設{}為等差數列，公差d = -2，為其前n項和，若，則=（ ）
a.18 20 c.22 d.24
練：已知數列的前項和，求其通項公式.
例4：設是等差數列，若，則數列前8項和為（ ）
ａ．12880t': 'span', 'c': 'ｃ', 'r': 'r_3'}]．6456
練：已知等差數列的前項和為，若（42）
例5：已知某等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為（ ）
a.5 b.4 3 d. 2
例6：等差數列中，，則前 10或11 項的和最大。
例7：已知等比數列中，
(1)若a3·a4·a5＝8，則a2·a3·a4·a5·a6＝ 32 ．
(2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，則a5＋a6＝ 4 ．
(3)若s4＝2，s8＝6，則a17＋a18＋a19＋a20＝ 32 .
練：已知數列－1，a1，a2，－4成等差數列，－1，b1，b2，b3，－4成等比數列，則的值是( )．
abt': 'span', 'c': 'c', 'r': 'r_15'}]．－或d．
題型三：求數列的通項公式
型別1解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
例: 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以數列的通項公式為。
型別2 解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例: a1＝1，an＝ (n≥2) 解： an＝
型別3 （其中p，q均為常數，）
解法：令，與已知遞推式比較，解出，轉化為是公比為的等比數列。
例: a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2) 解： an +1=2（an－1＋1）
◎ 變式訓練：已知數列中，a1＝1，an＋1＝(n∈n*)，求該數列的通項公式。
型別4 （其中p，q均為常數，）
解法：把原遞推公式轉化為，再變為求解
已知數列中，,，求
解：在兩邊乘以得：
令，則,應用型別3解法得：
所以練：①已知，求； an +1=3（an－1＋1）
②已知，求；
型別5 遞推公式為與(即)和與()的關係式。
解法：這種型別一般利用
例: 數列的前項和記為，求數列的通項公式。
型別6 遞推公式為（其中p，q均為常數）
解法：令，與已知遞推式比較，解出，轉化為型別4的問題。
例:數列：，，求數列的通項公式。
題型四：數列求和
ⅰ分組求和：若為等差數列,為等比數列,則的前n項和
s=ⅱ錯位相減：若為等差數列,為等比數列,則的前n項和可用錯位相減法.
求和s=
ⅲ裂項相消：利用前後對稱，正負相消來達到求和目的。常見拆項公式有：
（12）＝
求和：s＝ 1＋＋＋…＋．
ⅳ倒序相加：例如等差數列前n項和公式的推導
s=1+3+5+……+(2n-1)
ⅴ累加法或累乘法：常與裂項法一起使用
練：設數列 的前n項和為sn＝2n2， 為等比數列， 且a1＝b1， b2(a2－a1)＝b1。
⑴ 求數列和通項公式．
⑵ 設**＝，求數列前n項和tn ．
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