（一） 基礎知識
1.運算性質及重要結論
⑴平面向量基本定理:如果是同一平面內兩個不共線的向量,那麼對於這個平面內任一向量,有且只有一對實數,使，稱為的線性組合。
①其中叫做表示這一平面內所有向量的基底;
②平面內任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和,並且這種分解是唯一的.
這說明如果且,那麼.
③當基底是兩個互相垂直的單位向量時,就建立了平面直角座標系,因此平面向量基本定理實際上是平面向量座標表示的基礎
向量座標與點座標的關係：當向量起點在原點時，定義向量座標為終點座標，
即若a(x，y)，則=（x,y）；當向量起點不在原點時，向量座標為終點座標減去起點座標，即若a（x1,y1），b（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)
⑵兩個向量平行的充要條件
符號語言：
座標語言為：設非零向量,則∥ (x1,y1)=λ(x2,y2)，
即,或x1y2-x2y1=0, 在這裡,實數λ是唯一存在的,當與同向時,λ>0；當與異向時,λ<0。|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當,確定時，λ的符號與大小就確定了.
這就是實數乘向量中λ的幾何意義。
⑶兩個向量垂直的充要條件
符號語言：
座標語言：設非零向量，則
⑷兩個向量數量積的重要性質：
①即 (求線段的長度);
② (垂直的判斷);
③(求角度)。
以上結論可以(從向量角度)有效地分析有關垂直、長度、角度等問題,由此可以看到向量知識的重要價值.
注:①兩向量,的數量積運算結果是乙個數(其中),這個數的大小與兩個向量的長度及其夾角的余弦有關.
②叫做向量在方向上的投影（如圖）.
數量積的幾何意義是數量積等於的模與在方向上的投影的積.
③如果, ,則=,
∴,這就是平面內兩點間的距離公式.
（二）例題分析
例1已知梯形abcd中，，m，n分別是dc、ab的中點，若，，用e1，e2表示、、．
例2．已知λ1＋λ2＝1，且λ1，證明a、b、c三點共線．
例3．如圖△oab，其中、，m、n分別是邊、上的點，且，，設與相交於p，用向量a，b表示．
例4．已知a(－2，4)，b(3，－1)，c(－3，－4)，且＝3，＝2，試求點的座標和m，n兩點間的距離．
例5．已知點a(4，0)，b(4，4)，c(2，6)，o為座標原點．
(1)求的長度和方向；(2)求△abc的重心座標．
例6. 在△abc中，ab＝3，ac＝4，bc＝5，求、、．
例7. 已知e1，e2是夾角為60°的單位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，求a·b及＜a，b＞．
例8．已知a＋b＋c＝0，｜a｜＝3，｜b｜＝5，｜c｜＝7，求＜a，b＞．
例9. 在△abc中，，且△abc的乙個內角是直角，求k．
例10．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，(0＜α＜β＜π)．
(1)求證：a＋b與a－b互相垂直；
(2)若ka＋b與ka－b大小相等，求β－α(其中k∈r，k≠0)．
課後練習
一、選擇題(每道題的四個選擇答案中有且只有乙個答案是正確的)
1．設，，，其中，則b的座標為( )
a． b．
c． d．
2．給出下列四個命題，①若a≠0，則對任意非零向量b，都有a·b≠0；②若a≠0，a·b＝0，則b＝0；③若a＝0，a·b＝a·c，則b＝c；④對任意向量a，b，c，都有(a·b)·c≠a·(b·c)，其中正確的命題個數是( )
a．3 b．2 c．1 d．0
3．在△abc中，，若bc為斜邊，則y的值為( )
a． b．9 c．－9 d．－
4．若｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜a＋b｜＝，則cos＜a，b＞等於( )
a． b． c． d．
5．已知a、b、c三點共線，且，則λ1－λ2等於( )
a．1 b． c．－1 d．－
二、填空題
6．已知三點a(0，－1)，b(2，3)，c(3，x)共線，則x
7．設a＝(－2，5)，，且a與b反向共線，則b的座標為________．
8．若a＝(1，3)，b＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，則x
9．與向量a＝(12，9)平行的單位向量座標為________．
三、解答題
10．如圖，已知點a(4，0)，b(4，4)，c(2，6)，求ac與ob的交點p的座標．
11．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)
(1)當a∥b，求2)當a⊥b時，求θ；
(3)求｜2a－b｜的最大和最小值．
12．如圖，在rt△abc中，已知bc＝a，若長為2a的線段pq以點a為中點，問與的夾角θ取何值時·的值最大？並求出這個最大值．
平面向量知識點
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