一、向量的基本概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別.向量常用有向線段來表示.
注意：不能說向量就是有向線段，為什麼？ 提示：向量可以平移.
舉例1 已知，，則把向量按向量平移後得到的向量是結果：
2.零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，規定：零向量的方向是任意的；
3.單位向量：長度為乙個單位長度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）；
4.相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；
5.平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，
規定：零向量和任何向量平行.
注：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；
②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；
③平行向量無傳遞性！（因為有)；
④三點共線共線.
6.相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量記作.
舉例2 如下列命題：（1）若，則.
（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同.
（3）若，則是平行四邊形.
（4）若是平行四邊形，則.
（5）若，，則.
（6）若，則.其中正確的是結果：（4）（5）
二、向量的表示方法
1.幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在後；
2.符號表示：用乙個小寫的英文本母來表示，如，，等；
3.座標表示：在平面內建立直角座標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的座標，叫做向量的座標表示.
結論：如果向量的起點在原點，那麼向量的座標與向量的終點座標相同.
三、平面向量的基本定理
定理設同一平面內的一組基底向量，是該平面內任一向量，則存在唯一實數對，使.
（1）定理核心：；（2）從左向右看，是對向量的分解，且表示式唯一；反之，是對向量的合成.
（3）向量的正交分解：當時，就說為對向量的正交分解．
舉例3 （1）若，，，則結果：.
（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 b
a.， b.， c.， d.，
（3）已知分別是的邊，上的中線,且，,則可用向量表示為結果：.
（4）已知中，點在邊上，且，，則的值是結果：0.
四、實數與向量的積
實數與向量的積是乙個向量，記作，它的長度和方向規定如下：
（1）模：；
（2）方向：當時，的方向與的方向相同，當時，的方向與的方向相反，當時，，
注意：.
五、平面向量的數量積
1.兩個向量的夾角：對於非零向量，，作，，則把稱為向量，的夾角.
當時，，同向；當時，，反向；當時，，垂直.
2.平面向量的數量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積），記作：，即.
規定：零向量與任一向量的數量積是0.
注：數量積是乙個實數，不再是乙個向量.
舉例4 （1）中，，，，則結果：.
（2）已知，，，，與的夾角為，則____. 結果：1.
（3）已知，，，則____. 結果：.
（4）已知是兩個非零向量，且，則與的夾角為____. 結果：.
3.向量在向量上的投影：，它是乙個實數，但不一定大於0.
舉例5 已知，，且，則向量在向量上的投影為結果：.
4.的幾何意義：數量積等於的模與在上的投影的積.
5.向量數量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：
（1）；
（2）當、同向時，，特別地，；
是、同向的充要分條件；
當、反向時，，是、反向的充要分條件；
當為銳角時，，且、不同向，是為銳角的必要不充分條件；
當為鈍角時，，且、不反向；是為鈍角的必要不充分條件.
（3）非零向量，夾角的計算公式：；④.
舉例6 （1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值範圍是結果：或且；
（2）已知的面積為，且，若，則，夾角的取值範圍是結果：；
（3）已知，，且滿足（其中）.
①用表示；②求的最小值，並求此時與的夾角的大小. 結果：①；②最小值為，.
六、向量的運算
1.幾何運算
（1）向量加法
運算法則：①平行四邊形法則；②三角形法則.
運算形式：若，，則向量叫做與的和，即；
作圖：略.
注：平行四邊形法則只適用於不共線的向量.
（2）向量的減法
運算法則：三角形法則.
運算形式：若，，則，即由減向量的終點指向被減向量的終點.
作圖：略.
注：減向量與被減向量的起點相同.
舉例7 （1）化簡結果：①；②；③；
（2）若正方形的邊長為1，，，，則結果：；
（3）若是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為. 結果：直角三角形；
（4）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為結果：2；
（5）若點是的外心，且，則的內角為 . 結果：.
2.座標運算：設，，則
（1）向量的加減法運算：，.
舉例8 （1）已知點，，，若，則當____時，點在第
一、三象限的角平分線上. 結果：；
（2）已知，，且，，則 .結果：或；
（3）已知作用在點的三個力，，，則合力的終點座標是 . 結果：.
（2）實數與向量的積：.
（3）若，，則，即乙個向量的座標等於表示這個向量的有向線段的終點座標減去起點座標.
舉例9 設，，且，，則的座標分別是結果：.
（4）平面向量數量積：.
舉例10 已知向量，，.
（1）若，求向量、的夾角；
（2）若，函式的最大值為，求的值.結果：（1）；（2）或.
（5）向量的模：.
舉例11 已知均為單位向量，它們的夾角為，那麼結果：.
（6）兩點間的距離：若，，則.
舉例12 如圖，在平面斜座標系中，，平面上任一點關於斜座標系
的斜座標是這樣定義的：若，其中分別為與軸、軸同方向的單
位向量，則點斜座標為.
（1）若點的斜座標為，求到的距離；
（2）求以為圓心，1為半徑的圓在斜座標系中的方程.
結果：（1）2；（2）.
七、向量的運算律
1.交換律：，，；
2.結合律：，，；
3.分配律：，，.
舉例13 給出下列命題：①；②；③；
④ 若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨.
其中正確的是結果：①⑥⑨.
說明：（1）向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對於乙個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以乙個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以乙個向量，但不能兩邊同除以乙個向量，即兩邊不能約去乙個向量，切記兩向量不能相除(相約)；
（2）向量的「乘法」不滿足結合律，即，為什麼？
八、向量平行(共線)的充要條件
.舉例14 (1)若向量，，當_____時，與共線且方向相同. 結果：2.
（2）已知，，，，且，則結果：4.
（3）設，，，則_____時，共線. 結果：或11.
九、向量垂直的充要條件
.特別地.
舉例15 (1)已知，，若，則 .結果：；
（2）以原點和為兩個頂點作等腰直角三角形，，則點的座標是 .結果：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知向量，且，則的座標是 .結果：或.
十、線段的定比分點
1.定義：設點是直線上異於、的任意一點，若存在乙個實數，使，則實數叫做點分有向線段所成的比，點叫做有向線段的以定比為的定比分點.
2.的符號與分點的位置之間的關係
（1）內分線段，即點**段上；
（2）外分線段時，①點**段的延長線上，②點**段的反向延長線上.
注：若點分有向線段所成的比為，則點分有向線段所成的比為.
舉例16 若點分所成的比為，則分所成的比為結果：.
3.線段的定比分點座標公式：
設，，點分有向線段所成的比為，則定比分點座標公式為.
特別地，當時，就得到線段的中點座標公式
說明：（1）在使用定比分點的座標公式時，應明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的座標.
（2）在具體計算時應根據題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，並根據這些點確定對應的定比.
舉例17 （1）若，，且，則點的座標為結果：；
（2）已知，，直線與線段交於，且，則結果：２或.
十一、平移公式
如果點按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線.
說明：（1）函式按向量平移與平常「左加右減」有何聯絡？（2）向量平移具有座標不變性，可別忘了啊！
舉例18 （1）按向量把平移到，則按向量把點平移到點結果：；
（2）函式的圖象按向量平移後，所得函式的解析式是，則結果：.
十二、向量中一些常用的結論
1.乙個封閉圖形首尾連線而成的向量和為零向量，要注意運用；
2.模的性質：.
（1）右邊等號成立條件：同向或中有；
（2）左邊等號成立條件：反向或中有；
（3）當不共線.
3.三角形重心公式
在中，若，，，則其重心的座標為.
舉例19 若的三邊的中點分別為、、，則的重心的座標為 .結果：.
5.三角形「三心」的向量表示
（1）為△的重心，特別地為△的重心.
（2）為△的垂心.
（3）為△的內心；向量所在直線過△的內心.
6.點分有向線段所成的比向量形式
設點分有向線段所成的比為，若為平面內的任一點，則，特別地為有向線段的中點.
7. 向量中三終點共線存在實數，使得且．
舉例20 平面直角座標系中，為座標原點，已知兩點，，若點滿足,其中且,則點的軌跡是結果：直線.
平面向量知識點總結
一 概念 向量 既有大小，又有方向的量 數量 只有大小，沒有方向的量 有向線段的三要素 起點 方向 長度 零向量 長度為的向量 單位向量 長度等於個單位的向量 平行向量 共線向量 方向相同或相反的非零向量 零向量與任一向量平行 相等向量 長度相等且方向相同的向量 二 有關三角形的幾個 心 1 內心 ...
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