第二章平面向量
知識點歸納
一. 向量的基本概念與基本運算
1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如： 幾何表示法，；座標表示法向量的大小即向量的模（長度），記作||即向量的大小，記作｜｜
向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小．
②零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0 由於的方向是任意的，且規定平行於任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有「非零向量」這個條件．（注意與0的區別）
③單位向量：模為1個單位長度的向量
向量為單位向量｜｜＝1
④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作∥由於向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量
數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現在必須區分清楚共線向量中的「共線」與幾何中的「共線」、的含義，要理解好平行向量中的「平行」與幾何中的「平行」是不一樣的．
⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經過平移後總可以重合，記為大小相等，方向相同
2向量加法
求兩個向量和的運算叫做向量的加法
設，則+==
（1）；
（2）向量加法滿足交換律與結合律；
向量加法有「三角形法則」與「平行四邊形法則」：
（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量
（2） 三角形法則的特點是「首尾相接」，由第乙個向量的起點指向最後乙個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點
當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連線時，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：
，但這時必須「首尾相連」．
3向量的減法
① 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量
記作,零向量的相反向量仍是零向量
關於相反向量有： （i）=； (ii
(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=
②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，
記作： 求兩個向量差的運算，叫做向量的減法
③作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）
4實數與向量的積：
①實數λ與向量的積是乙個向量，記作λ，它的長度與方向規定如下：
（ⅰ）；
（ⅱ）當時，λ的方向與的方向相同；當時，λ的方向與的方向相反；當時，，方向是任意的
②數乘向量滿足交換律、結合律與分配律
5兩個向量共線定理：
向量與非零向量共線有且只有乙個實數，使得=
6平面向量的基本定理：
如果是乙個平面內的兩個不共線向量，那麼對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底
7 特別注意:
（1）向量的加法與減法是互逆運算
（2）相等向量與平行向量有區別，向量平行是向量相等的必要條件
（3）向量平行與直線平行有區別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況
（4）向量的座標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關
學習本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關係，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等由於向量是一新的工具，它往往會與三角函式、數列、不等式、解几等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點
二. 平面向量的座標表示
1平面向量的座標表示：在直角座標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內的任一向量可表示成，由於與數對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的座標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的座標，y叫做在y軸上的座標
(1)相等的向量座標相同，座標相同的向量是相等的向量
(2)向量的座標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關
2平面向量的座標運算：
(1) 若，則
(2) 若，則
(3) 若=(x,y)，則=(x, y)
(4) 若，則
(5) 若，則
若，則3 向量的運算向量的加減法，數與向量的乘積，向量的數量（內積）及其各運算的座標表示和性質
三．平面向量的數量積
1兩個向量的數量積：
已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos
叫做與的數量積（或內積） 規定
2向量的投影：︱︱cos=∈r，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影
3數量積的幾何意義：·等於的長度與在方向上的投影的乘積
4向量的模與平方的關係：
5乘法公式成立：
；6平面向量數量積的運算律：
①交換律成立：
②對實數的結合律成立：
③分配律成立：
特別注意：（1）結合律不成立：；
（2）消去律不成立不能得到
（3）=0不能得到=或=
7兩個向量的數量積的座標運算：
已知兩個向量，則·=
8向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則∠aob= （）叫做向量與的夾角
cos==
當且僅當兩個非零向量與同方向時，θ=00，當且僅當與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題
9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥
10兩個非零向量垂直的充要條件：
⊥·＝o
鞏固練習
例1 給出下列命題：
① 若||＝||，則=；
② 若a，b，c，d是不共線的四點，則是四邊形abcd為平行四邊形的充要條件；
③ 若=， =，則=，
④=的充要條件是||=||且//；
⑤ 若//， //，則//，
其中正確的序號是
例2 設a、b、c、d、o是平面上的任意五點，試化簡：
①，② ③
例3設非零向量、不共線， =k+， =+k (kr)，若∥，試求k
例4 已知向量，，且，求實數的值
例5已知點,試用向量方法求直線和（為座標原點）交點的座標
例6已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角
例7 已知，， ，按下列條件求實數的值
（1）；（2）；
例8已知，，且與夾角為120°求
； ； 與的夾角。
例9已知向量=， = 。
求與； 當為何值時，向量與垂直？
當為何值時，向量與平行？並確定此時它們是同向還是反向？
例10已知=， = ， =，設是直線上一點，是座標原點
求使取最小值時的； 對（1）中的點，求的余弦值。
例11在中，為中線上的乙個動點，若
求：的最小值。
平面向量知識點總結與訓練
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