第二章平面向量
知識點歸納
一. 向量的基本概念與基本運算
1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如： 幾何表示法，；座標表示法向量的大小即向量的模（長度），記作||即向量的大小，記作｜｜
向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小．
②零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0 由於的方向是任意的，且規定平行於任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有「非零向量」這個條件．（注意與0的區別）
③單位向量：模為1個單位長度的向量
向量為單位向量｜｜＝1
④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作∥由於向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量
數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現在必須區分清楚共線向量中的「共線」與幾何中的「共線」、的含義，要理解好平行向量中的「平行」與幾何中的「平行」是不一樣的．
⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經過平移後總可以重合，記為大小相等，方向相同
2向量加法(法則)
3向量的減法
4實數與向量的積：
5兩個向量共線定理：
向量與非零向量共線有且只有乙個實數，使得=
6平面向量的基本定理：
7 特別注意:
（1）相等向量與平行向量有區別，向量平行是向量相等的必要條件
（2）向量平行與直線平行有區別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況
（3）向量的座標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關
二. 平面向量的座標表示
1平面向量的座標表示：
(1)相等的向量座標相同，座標相同的向量是相等的向量
(2)向量的座標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關
2平面向量的座標運算：
(1) 若，則
(2) 若，則
(3) 若=(x,y)，則=(x, y)
(4) 若，則
(5) 若，則
若，則三．平面向量的數量積
1兩個向量的數量積：
已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos
叫做與的數量積（或內積） 規定
2向量的投影：︱︱cos=∈r，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影
3數量積的幾何意義：·等於的長度與在方向上的投影的乘積
4向量的模與平方的關係：
5乘法公式成立：
；6平面向量數量積的運算律：
①交換律成立：
②對實數的結合律成立：
③分配律成立：
特別注意：（1）結合律不成立：；
（2）消去律不成立不能得到
（3）=0不能得到=或=
7兩個向量的數量積的座標運算：
已知兩個向量，則·=
8向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則∠aob= （）叫做向量與的夾角
cos==
當且僅當兩個非零向量與同方向時，θ=00，當且僅當與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題
9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥
10兩個非零向量垂直的充要條件：
⊥·＝o
鞏固練習
例1 給出下列命題：
① 若||＝||，則=；
② 若a，b，c，d是不共線的四點，則是四邊形abcd為平行四邊形的充要條件；
③ 若=， =，則=，
④=的充要條件是||=||且//；
⑤ 若//， //，則//，
其中正確的序號是
例2 設a、b、c、d、o是平面上的任意五點，試化簡：
①，② ③
例3設非零向量、不共線， =k+， =+k (kr)，若∥，試求k
例4 已知向量，，且，求實數的值
例5已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角
例7 已知，， ，按下列條件求實數的值
（1）；（2）；
例8已知，，且與夾角為120°求
； ； 與的夾角。
例9已知向量=， = 。
求與； 當為何值時，向量與垂直？
當為何值時，向量與平行？並確定此時它們是同向還是反向？
例10在中，為中線上的乙個動點，若
求：的最小值。
平面向量知識點總結與訓練
第二章平面向量 知識點歸納 一.向量的基本概念與基本運算 1向量的概念 向量 既有大小又有方向的量向量一般用 來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如 幾何表示法，座標表示法向量的大小即向量的模 長度 記作 即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小 零向量 長度為0的向...
平面向量知識點總結與訓練
第二章平面向量 知識點歸納 一.向量的基本概念與基本運算 1向量的概念 向量 既有大小又有方向的量向量一般用 來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如 幾何表示法，座標表示法向量的大小即向量的模 長度 記作 即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小 零向量 長度為0的向...
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第二章平面向量 知識點歸納 一.向量的基本概念與基本運算 1向量的概念 向量 既有大小又有方向的量向量一般用 來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如 幾何表示法，座標表示法向量的大小即向量的模 長度 記作 即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小 零向量 長度為0的向...