分式【知識網路】
【主要公式】1.同分母加減法則:
2.異分母加減法則:;
3.分式的乘法與除法:,
4.同底數冪的加減運算法則:實際是合併同類項
5.同底數冪的乘法與除法;am● an =am+n; am÷ an =am－n
6.積的乘方與冪的乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn
7.負指數冪: a-p= a0=1
8.乘法公式與因式分解:平方差與完全平方式
(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2
一、考點、熱點
知識點一：分式的定義
一般地，如果a，b表示兩個整數，並且b中含有字母，那麼式子叫做分式，a為分子，b為分母。
知識點二：與分式有關的條件
分式有意義：分母不為0（）
分式無意義：分母為0（）
分式值為0：分子為0且分母不為0（）
分式值為正或大於0：分子分母同號（或）
分式值為負或小於0：分子分母異號（或）
分式值為1：分子分母值相等（a=b）
分式值為-1：分子分母值互為相反數（a+b=0）
知識點三：分式的基本性質
分式的分子和分母同乘（或除以）乙個不等於0的整式，分式的值不變。
字母表示：，，其中a、b、c是整式，c0。
拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即
注意：在應用分式的基本性質時，要注意c0這個限制條件和隱含條件b0。
知識點四：分式的約分
定義：根據分式的基本性質，把乙個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。
步驟：把分式分子分母因式分解，然後約去分子與分母的公因。
注意：①分式的分子與分母為單項式時可直接約分，約去分子、分母係數的最大公約數，然後約去分子分母相同因式的最低次冪。
②分子分母若為多項式，約分時先對分子分母進行因式分解，再約分。
知識點四：最簡分式的定義
乙個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。
知識點五：分式的通分
1 分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
2 分式的通分最主要的步驟是最簡公分母的確定。
最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。
確定最簡公分母的一般步驟：
ⅰ 取各分母係數的最小公倍數；
ⅱ 單獨出現的字母（或含有字母的式子）的冪的因式連同它的指數作為乙個因式；
ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數最大的。
ⅳ 保證凡出現的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要取。
注意：分式的分母為多項式時，一般應先因式分解。
知識點六分式的四則運算與分式的乘方
1 分式的乘除法法則：
分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：
分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置後，與被除式相乘。式子表示為
2 分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子
3 分式的加減法則：
同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為
異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然後再加減。式子表示為
整式與分式加減法：可以把整式當作乙個整數，整式前面是負號，要加括號，看作是分母為1的分式，再通分。
4 分式的加、減、乘、除、乘方的混合運算的運算順序
先乘方、再乘除、後加減，同級運算中，誰在前先算誰，有括號的先算括號裡面的，也要注意靈活，提高解題質量。
注意：在運算過程中，要明確每一步變形的目的和依據，注意解題的格式要規範，不要隨便跳步，以便查對有無錯誤或分析出錯的原因。
加減後得出的結果一定要化成最簡分式（或整式）。
知識點六整數指數冪
1 引入負整數、零指數冪後，指數的取值範圍就推廣到了全體實數，並且正正整數冪的法則對對負整數指數冪一樣適用。即
任何不等於零的數的零次冪都等於1）
其中m，n均為整數。
科學記數法
若乙個數x是0若乙個數x是x>10的數則可以表示為（，即a的整數部分只有一位，n為整數）的形式，n的確定n=比整數部分的數字的個數少1。如120 000 000=
知識點七分式方程的解的步驟
去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。（產生增根的過程）
解整式方程，得到整式方程的解。
檢驗，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：
如果最簡公分母為0，則原方程無解，這個未知數的值是原方程的增根；如果最簡公分母不為0，則是原方程的解。
產生增根的條件是：①是得到的整式方程的解；②代入最簡公分母後值為0。
知識點八列分式方程
基本步驟
1 審—仔細審題，找出等量關係。
2 設—合理設未知數。
3 列—根據等量關係列出方程（組）。
4 解—解出方程（組）。注意檢驗
5 答—答題。
二、典型例題
（一）、分式定義及有關題型
題型一：考查分式的定義
【例1】下列代數式中：，是分式的有
題型二：考查分式有意義的條件
【例2】當有何值時，下列分式有意義
（1） （2） （3） （4） （5）
題型三：考查分式的值為0的條件
【例3】當取何值時，下列分式的值為0.
（123）
題型四：考查分式的值為正、負的條件
【例4】（1）當為何值時，分式為正；
（2）當為何值時，分式為負；
（3）當為何值時，分式為非負數.
練習：1．當取何值時，下列分式有意義：
（123）
2．當為何值時，下列分式的值為零：
（12）
3．解下列不等式
（12）
（二）分式的基本性質及有關題型
1．分式的基本性質：
2．分式的變號法則：
題型一：化分數係數、小數係數為整數係數
【例1】不改變分式的值，把分子、分母的係數化為整數.
（12）
題型二：分數的係數變號
【例2】不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的首項的符號變為正號.
（123）
題型三：化簡求值題
【例3】已知：，求的值.
提示：整體代入，①，②轉化出.
【例4】已知：，求的值.
【例5】若，求的值.
練習：1．不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的係數化為整數.
（12）
2．已知：，求的值.
3．已知：，求的值.
4．若，求的值.
5．如果，試化簡.
、（三）分式的運算
1．確定最簡公分母的方法：
①最簡公分母的係數，取各分母係數的最小公倍數；
②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪.
2．確定最大公因式的方法：①最大公因式的係數取分子、分母係數的最大公約數；
②取分子、分母相同的字母因式的最低次冪.
題型一：通分
【例1】將下列各式分別通分.
（12）；
（34）
題型二：約分
【例2】約分：（1）； （2）； （3）.
題型三：分式的混合運算
【例3】計算：
（12）；
（34）；
（5）； （6）；
題型四：化簡求值題
【例4】先化簡後求值
（1）已知：，求分子的值；
（2）已知：，求的值；
（3）已知：，試求的值.
題型五：求待定字母的值
【例5】若，試求的值.
練習：1．計算
（12）；
（34）；
（56）；
（7）.
2．先化簡後求值
（1），其中滿足.
（2）已知，求的值.
3．已知：，試求、的值.
4．當為何整數時，代數式的值是整數，並求出這個整數值.
（四）、整數指數冪與科學記數法
題型一：運用整數指數冪計算
【例1】計算：（12）
（34）
題型二：化簡求值題
【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.
題型三：科學記數法的計算
【例3】計算：（1）；（2）.
練習：1．計算：（1）
（2） （3）
（4）2．已知，求（1），（2）的值.
第二講分式方程
（一）分式方程題型分析
題型一：用常規方法解分式方程
【例1】解下列分式方程
（1）；（2）；（3）；（4）
提示易出錯點：①分子不添括號②漏乘整數項；③約去相同因式至使漏根；④忘記驗根.
題型二：特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程
（12）
提示：（1）換元法，設；（2）裂項法，.
【例3】解下列方程組
題型三：求待定字母的值
【例4】若關於的分式方程有增根，求的值.
【例5】若分式方程的解是正數，求的取值範圍.
提示：且，且.
題型四：解含有字母係數的方程
【例6】解關於的方程
提示：（1）是已知數；（2）.
題型五：列分式方程解應用題
練習：1．解下列方程：
（12）；
（34）
（56）
（7）2．解關於的方程：
（1）；（2）.
3．如果解關於的方程會產生增根，求的值.
4．當為何值時，關於的方程的解為非負數.
5．已知關於的分式方程無解，試求的值.
（二）分式方程的特殊解法
解分式方程，主要是把分式方程轉化為整式方程，通常的方法是去分母，並且要檢驗，但對一些特殊的分式方程，可根據其特徵，採取靈活的方法求解，現舉例如下：
一、交叉相乘法
例1．解方程：
二、化歸法
例2．解方程：
三、左邊通分法
例3：解方程：
四、分子對等法
例4．解方程：
五、觀察比較法
例5．解方程：
六、分離常數法
例6．解方程：
七、分組通分法
例7．解方程：
（三）分式方程求待定字母值的方法
例1．若分式方程無解，求的值。
例2．若關於的方程不會產生增根，求的值。
例3．若關於分式方程有增根，求的值。
例4．若關於的方程有增根，求的值。
三、課後練習
一、分式
1、分式概念
1.各式中， x+y4xy , , 分式的個數有（ ）
a、1個 b、2個 c、3個 d、4個
2．在，中，是分式的有
a、1個 b、2個c、3個 d、4個
3、下列各式：，，，，，中，是分式的共有（ ）
a、1個 b、2個 c、3個 d、4個
2、分式有意義
（1）當 x≠___ 時，分式有意義；
分式的知識點及典型例題分析
1 分式的基本性質的應用 分式的基本性質 分式的分子與分母同乘或除以乙個不等於0的整式，分式的值不變。例1 如果成立,則a的取值範圍是 例2例3 如果把分式中的a和b都擴大10倍，那麼分式的值 a 擴大10倍 b 縮小10倍 c 是原來的20倍 d 不變 例4 根據分式的基本性質，分式可變形為 ab...
實數知識點及典型例題
4 實數 知識點總結及典型例題練習題 第一節 平方根 1.平方根與算數平方根的含義 平方根 如果乙個數的平方等於，那麼數x就叫做的平方根。即，記作x 算數平方根 如果乙個正數x的平方等於a，那麼正數x叫做a的算術平方根，即x2 a，記作x 平方根的性質與表示 表示 正數的平方根用表示，叫做正平方根，...
補課專用 初中數學分式章節知識點及典型例題解析
十六章分式的知識點及典型例題分析 1 分式的定義 例 下列式子中，8a2b 2 中分式的個數為a 2 b 3 c 4 d 5 練習題 1 下列式子中，是分式的有 2 下列式子，哪些是分式？2 分式有，無意義，總有意義 1 使分式有意義 令分母 0按解方程的方法去求解 2 使分式無意義 令分母 0按解...