二次函式
一、二次函式的幾何變換
二、二次函式的圖象和性質
(ⅰ) y=a(xh)2+k (a0)的圖象和性質
(ⅱ) y=ax2+bx+c (a0)的圖象和性質
(ⅲ) a、b、c的符號對拋物線形狀位置的影響
三、待定係數法求二次函式的解析式
1、一般式：.已知影象上三點或三對、的值，通常選擇一般式。
2、頂點式：.已知影象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式。
3、交點式：已知影象與軸的交點橫座標、，通常選用交點式：。
4、頂點在原點，可設解析式為y=ax2。
5、對稱軸是y軸（或者頂點在y軸上），可設解析式為y= ax2+c。
6、頂點在x軸上，可設解析式為。
7、拋物線過原點，可設解析式為y=ax2+bx。
四、拋物線的對稱性
1、拋物線與x軸有兩個交點（x1,0）（x2,0），則對稱軸為x=。
2、拋物線上有不同的兩個交點（m，a）（n,a），則對稱軸為x=。
3、拋物線（a≠0）與y軸交點關於對稱軸的對稱點為(, c)。
五、二次函式與一元二次方程的關係
對於拋物線（a≠0），令y=0，即為一元二次方程，一元二次方程的解就是二次函式與x軸交點的橫座標。要分三種情況：
1、 判別式△=b2-4ac＞0拋物線與x軸有兩個不同的交點（，0）（，0）。有韋達定理可知x1+x2= ，x1·x2=。
2、 判別式△=b2-4ac=0拋物線與x軸有乙個交點（，0）。
3、 判別式△=b2-4ac=0拋物線與x軸無交點。
六、二次函式與一元二次不等式的關係
1、a＞0：（1）的解集為：x＜x1或x＞x2（x1＜x2）。
（2）的解集為：x1＜x＜x2（x1＜x2）。
2、a＜0：（1）的解集為：x1＜x＜x2（x1＜x2）。
（2）的解集為：x＜x1或x＞x2（x1＜x2）。
七、二次函式的應用
1、面積最值問題。
2、長度、高度最值問題。
3、利潤最大化問題。
4、利用二次函式求近似解。
例1、拋物線與直線在同一平面直角座標系中的影象大致是（ ）
例2、已知二次函式y=-x2+bx-8的最大值為8,則b的值為 （ ）
a、 8 b、 -8 c、 16 d、 8或-8
例3、已知一拋物線與x軸的交點是a（-2,0）b（1,0）且經過點c（2,8）
（1）求該拋物線的解析式； （2）求該拋物線的頂點座標
例4、已知二次函式y=3（x﹣1）2+k的圖象上有三點a（，y1），b（2，y2），c（，y3），則y1、y2、y3的大小關係為
例5、把拋物線y=x2+bx+c的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得
的圖象解析式是y= x2-3x+5,則a+b+c= 。
例6、一次函式y=kx+b的影象與x軸和y軸分別交於a（-8,0）和點b（0,4），線段
ab垂直平分線cd交x軸與點c交於ab於點d，求：
1、確定直線ab的解析式
2、求過a、b、c三點的拋物線解析式
3、拋物線對應的二次函式有最大值還是最小值？當x等於幾時，相應的最大值或最
小值是多少？
例7、已知拋物線與x軸交於點a（-2，0），b（4，0），與y軸交於點c（0，8）．拋
物線頂點為d，直線cd交x軸於點e，過點b做x軸的垂線交直線cd於點f。
（1）求拋物線的解析式及其頂點d的座標；
（2）求直線cd的解析式
（3）**段bf上是否存在點p，使得p到直線cd的距離等於點p到原點o的距離。如果存在，求出點p座標。
例8（2013永州）如圖，已知二次函式y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的圖象與x軸交於a、b兩點。
（1）寫出a、b兩點的座標（座標用m表示）；
（2）若二次函式圖象的頂點p在以ab為直徑的圓上，求二次函式的解析式；
（3）設以ab為直徑的⊙m與y軸交於c、d兩點，求cd的長．
例10、（1）已知二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結論：①b2-4ac
＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正確的結論是 。
圖（1） 圖（2）圖（3）
（2）已知二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的實數）．
其中正確的結論有______（填序號）
（3）（2013浙江義烏）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交於點a(－1，0)，頂點
座標為(1，n)，與y軸的交點在(0，2)、(0，3)之間（包含端點），則下列結論：①當
x＞3時，y＜0；②3a＋b＞0；③－1≤a≤－；④3≤n≤4中，正確的是（ ）．
abcd．①③
例11、（2005綿陽）有乙個拋物線形的拱形隧道，隧道的最大高度為6m，跨度為8m，把它放在如圖所示的平面直角座標系中．
（1）求這條拋物線所對應的函式關係式；
（2）若要在隧道壁上點p（如圖）安裝一盞照明燈，燈離地面高4.5m．求燈與點b的距離．
例12、（2012嘉興）某汽車租賃公司擁有20輛汽車．據統計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項支出共4800元．設公司每日租出x輛車時，日收益為y元．（日收益=日租金收入一平均每日各項支出）
（1）公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金為元（用含x的代數式表示）；
（2）當每日租出多少輛時，租賃公司日收益最大？最大是多少元？
（3）當每日租出多少輛時，租賃公司的日收益不盈也不虧？
例13、如圖，隧道的截面由拋物線aed和矩形abcd構成，矩形的長bc為8m，寬ab
為2m，以bc所在的直線為x軸，線段bc的中垂線為y軸，建立平面直角座標系，y
軸是拋物線的對稱軸，頂點e到座標原點o的距離為6 m．
（1）求拋物線的解析式；
(2)如果該隧道內設雙行道，現有一輛貨運卡車高為4.2 m，這輛貨運卡車能否通過該隧道？通過計算說明．
例14、在坡面為oa的斜坡上，有兩根電線桿oc，ad，如圖，以地平面為x軸，oc所在直線為y軸，建立平面直角座標系，已知oa=41公尺，ab=9公尺，oc=ad=10公尺，坡面中點f處與電線的距離ef=7.5公尺
（1）求電線所在的拋物線解析式；
（2）若平行於y軸的任意直線x=k交拋物線於點m，交坡面oa於點n，求mn的最小值．
練習1、（2013·嘉興）一次函式y=ax+b(a不等於0)的影象與x軸的交點座標是(-2,0),則拋物線y=ax2+bx的對稱軸為（ ）
a.直線x=1 b.直線x=-2 c.直線x=-1 d.直線x=-4
2、二次函式y=-2x2+4x+1的圖象如何移動就得到y=-2x2的圖象（）
a.向左移動1個單位，向上移動3個單位
b.向右移動1個單位，向上移動3個單位
c.向左移動1個單位，向下移動3個單位
d.向右移動1個單位，向下移動3個單位
3、把拋物線y=ax2+bx+c向左平移2個單位,再向下平移1個單位後,恰好與拋物線
y=2x2+x+1重合，求出a，b，c的值，並畫出函式的示意圖。
4、已知二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的頂點p的橫座標是4,圖象交x軸於點a(m,0)和點b,且m>4,那麼ab的長是( ).
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