一.定義：
一般地，如果是常數，，那麼叫做的二次函式. 二次函式的圖象是拋物線，所以也叫拋物線y=ax2+bx+c；拋物線關於對稱軸對稱且以對稱軸為界，一半圖象上坡，另一半圖象下坡；其中c叫二次函式在y軸上的截距, 即二次函式圖象必過（0，c）點.
二.二次函式的性質
（1）拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.
（2）函式的影象與的符號關係.
①當時拋物線開口向上頂點為其最低點；
②當時拋物線開口向下頂點為其最高點.
（3）頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為. y=ax2 (a≠0)可以經過補0看做二次函式的一般式，頂點式和雙根式，即： y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0).
例題精析：
1． 二次函式的概念，二次函式y＝ax2 (a≠0)的圖象性質
二次函式的一般式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。強調a≠0．而常數b、c可以為0，當b，c同時為0時，拋物線為y＝ax2(a≠0)。此時，拋物線頂點為(0，0)，對稱軸是y軸，即直線x＝0。
例：已知函式是關於x的二次函式，求：
(1)滿足條件的m值；
(2)m為何值時，拋物線有最低點?求出這個最低點．這時當x為何值時，y隨x的增大而增大?
(3)m為何值時，函式有最大值?最大值是什麼?這時當x為何值時，y隨x的增大而減小?
解： (1)使是關於x的二次函式，則m2＋m－4＝2，且m＋2≠0，即：
m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得；m＝2或m＝－3，m≠－2
(2)拋物線有最低點的條件是它開口向上，即m＋2＞0，
(3)函式有最大值的條件是拋物線開口向下，即m＋2＜0。
練習：已知函式是二次函式，其圖象開口方向向下，則m＝_____，頂點為_____，當x_____0時，y隨x的增大而增大，當x_____0時，y隨x的增大而減小。
2、用配方法求拋物線的頂點，對稱軸；拋物線的畫法，平移規律
拋物線的一般式與頂點式的互化關係： y＝ax2＋bx＋c———→y＝a(x＋)2＋
平移規律如下圖：
練習： (1)拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象向左平移2個單位。再向上平移3個單位，得拋物線y＝x2－2x＋1，求：b與c的值。
(2)通過配方，求拋物線y＝x2－4x＋5的開口方向、對稱軸及頂點座標，再畫出圖象。
3．知識點串聯，綜合應用。
例：如圖，已知直線ab經過x軸上的點a(2，0)，且與拋物線y＝ax2相交於b、c兩點，已知b點座標為(1，1)。
(1)求直線和拋物線的解析式；
(2)如果d為拋物線上一點，使得△aod與△obc的面積相等，求d點座標。
點評：(1)直線ab過點a(2，0)，b(1，1)，代入解析式y＝kx＋b，可確定k、b，拋物線y＝ax2過點b(1，1)，代人可確定a。
求得：直線解析式為y＝－x＋2，拋物線解析式為y＝x2。
(2)由y＝－x＋2與y＝x2，先求拋物線與直線的另乙個交點c的座標為(－2，4)，
s△obc＝s△abc－s△oab＝3。
∵ s△aod＝s△obc，且oa＝2
∴ d的縱座標為3
又∵ d在拋物線y＝x2上，
∴x2＝3，即x＝± ∴ d(－，3)或(，3)
練習：函式y＝ax2(a≠0)與直線y＝2x－3交於點a(1，b)，求：
(1)a和b的值；
(2)求拋物線y＝ax2的頂點和對稱軸；
(3)x取何值時，二次函式y＝ax2中的y隨x的增大而增大，
(4)求拋物線與直線y＝－2兩交點及拋物線的頂點所構成的三角形面積。
課堂作業
一、填空。
1．若二次函式y＝(m＋1)x2＋m2－2m－3的圖象經過原點，則m＝______。
2．函式y＝3x2與直線y＝kx＋3的交點為(2，b)，則k＝______，b＝______。
3．拋物線y＝－(x－1)2＋2可以由拋物線y＝－x2向______方向平移______個單位，再向______方向平移______個單位得到。
4．用配方法把y＝－x2＋x－化為y＝a(x－h)2＋k的形式為y其開口方向______，對稱軸為______，頂點座標為______。
二、選擇。
1．函式y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函式的條件是( )
a．m、n是常數，且m≠0b．m、n是常數，且m≠n
c. m、n是常數，且n≠0d. m、n可以為任意實數
2．直線y＝mx＋1與拋物線y＝2x2－8x＋k＋8相交於點(3，4)，則m、k值為( )
a． b． c. d.
3．下列圖象中，當ab＞0時，函式y＝ax2與y＝ax＋b的圖象是( )
三、解答題
1．函式
(1)當a取什麼值時，它為二次函式。
(2)當a取什麼值時，它為一次函式。
3.二次函式的影象是對稱軸平行於（包括重合）軸的拋物線.
4.二次函式用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式
6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.
①的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；
相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
②平行於軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.
7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函式，如果二次項係數相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.
8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法
（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
（3）運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.
9.拋物線中，的作用
（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由於拋物線的對稱軸是直線
，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側.
（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當時，，∴拋物線與軸有且只有乙個交點（0，）：
①，拋物線經過原點; ②,與軸交於正半軸；③,與軸交於負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則.
10.幾種特殊的二次函式的影象特徵如下：
二次函式y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象及幾個重要點的公式：
二次函式y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c與δ的符號與圖象的關係：
(1) a＞0 <=> 拋物線開口向上； a＜0 <=> 拋物線開口向下；
(2) c＞0 <=> 拋物線從原點上方通過； c=0 <=> 拋物線從原點通過；
c＜0 <=> 拋物線從原點下方通過；
(3) a, b異號 <=> 對稱軸在y軸的右側； a, b同號 <=> 對稱軸在y軸的左側；
b=0 <=> 對稱軸是y軸；
(4) δ＞0 <=> 拋物線與x軸有兩個交點；
δ=0 <=> 拋物線與x軸有乙個交點（即相切）；
δ＜0 <=> 拋物線與x軸無交點.
11.用待定係數法求二次函式的解析式
（1）一般式：.已知影象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
（2）頂點式：.已知影象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
（3）交點式：已知影象與軸的交點座標、，通常選用交點式：.
12.直線與拋物線的交點
（1）軸與拋物線得交點為(0,).
（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
（3）拋物線與軸的交點
二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
（4）平行於軸的直線與拋物線的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
（5）一次函式的影象與二次函式的影象的交點，由方程組的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方程組只有一組解時與只有乙個交點；③方程組無解時與沒有交點.
（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
例題精析
1、用待定係數法確定二次函式解析式．
例：根據下列條件，求出二次函式的解析式。
(1)拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點(0，1)，(1，3)，(－1，1)三點。
(2)拋物線頂點p(－1，－8)，且過點a(0，－6)。
(3)已知二次函式y＝ax2＋bx＋c的圖象過(3，0)，(2，－3)兩點，並且以x＝1為對稱軸。
(4)已知二次函式y＝ax2＋bx＋c的圖象經過一次函式y＝－3/2x＋3的圖象與x軸、y軸的交點；且過(1，1)，求這個二次函式解析式，並把它化為y＝a(x－h)2＋k的形式。
提示：二次函式解析式常用的有三種形式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
(2)頂點式：y＝a(x－h)2＋k (a≠0)
(3)兩根式：y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0)
二次函式知識點總結及典型題目
一.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.二次函式的圖象是拋物線，所以也叫拋物線y ax2 bx c 拋物線關於對稱軸對稱且以對稱軸為界，一半圖象上坡，另一半圖象下坡 其中c叫二次函式在y軸上的截距,即二次函式圖象必過 0，c 點.二.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸....
二次函式知識點總結及相關典型題目
第一部分基礎知識 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函式的影象是對...
二次函式知識點總結及相關典型題目
一 基礎知識 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函式的影象是對稱軸...