第一部分基礎知識
1.直線與拋物線的交點
（1）軸與拋物線得交點為(0,).
（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
（3）拋物線與軸的交點
二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
（4）平行於軸的直線與拋物線的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
（5）一次函式的影象與二次函式的影象的交點，由方程組的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方程組只有一組解時與只有乙個交點；③方程組無解時與沒有交點.
（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
第二部分典型習題
1、有乙個運算裝置，當輸入值為x時，其輸出值為，且是x的二次函式，已知
輸入值為,0,時, 相應的輸出值分別為5, ,．
（1）求此二次函式的解析式；
（2）在所給的座標系中畫出這個二次函式的圖象,並根據圖象寫出當輸出值為
正數時輸入值的取值範圍.
2、已知拋物線與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點c．是否存在實數a，使得△abc為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．
3、已知二次函式的圖象經過點（1，－1）．求這個二次函式的解析式，並判斷該函式圖象與x軸的交點的個數．
4、已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.
（1）若拋物線與x軸的兩個交點a、b分別在原點的兩側，並且ab＝，試求m的值；
（2）設c為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關於原點對稱的兩點m、n，並且 △mnc的面積等於27，試求m的值.
5、已知在平面直角座標系內，o為座標原點，a、b是x軸正半軸上的兩點，點a在點b的左側，如圖．二
次函式（a≠0）的圖象經過點a、b，與y軸相交於點c
（1）a、c的符號之間有何關係?
（2）如果線段oc的長度是線段oa、ob長度的比例中項，試證a、c互為倒數；
（3）在（2）的條件下，如果b＝－4，，求a、c的值．
6、如圖，直線分別與x軸、y軸交於點a、b，⊙e經過原點o及a、b兩點．
（1）c是⊙e上一點，鏈結bc交oa於點d，若∠cod＝∠cbo，求點a、b、c的座標；
（2）求經過o、c、a三點的拋物線的解析式：
（3）若延長bc到p，使dp＝2，鏈結ap，試判斷直線pa與⊙e的位置關係，並說明理由．
1、已知：拋物線與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點c．
其中點a在x軸的負半軸上，點c在y軸的負半軸上，線段oa、oc的長
（oa（1）求a、b、c三點的座標；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）若點d是線段ab上的乙個動點（與點a、b不重合），過點d作
de∥bc交ac於點e，鏈結cd，設bd的長為m，△cde的面積為s，求
s與m的函式關係式，並寫出自變數m的取值範圍．s是否存在最大值？若
存在，求出最大值並求此時d點座標；若不存在，請說明理由．
2、如圖，拋物線經過三點．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）p是拋物線上一動點，過p作軸，垂足為m，是否存在p點，使得
以a，p，m為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點p
的座標；若不存在，請說明理由；
（3）在直線ac上方的拋物線上有一點d，使得的面積最大，求出點d的座標．
3、已知，如圖拋物線與y軸交於c點，與x軸交於a、b兩點，a點在b點左側。點b的座標為(1，0),oc=30b．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點d是線段ac下方拋物線上的動點，求四邊形abcd面積的最大值：
(3)若點e在x軸上，點p在拋物線上。是否存在以a、c、e、p為頂點且以ac為一邊的平行四邊形?若存在，求點p的座標；若不存在，請說明理由．
方程： 4、已知一元二次方程的一根為 2．
（1）求關於的關係式；
（2）求證：拋物線與軸有兩個交點；
（3）設拋物線的頂點為 m，且與 x 軸相交於a（，0）、b（，0）兩點，求使△amb 面積最小時的拋物線的解析式．
課後習題：
1、15、（09湖南懷化）如圖11，已知二次函式的圖象與軸相交於兩個不同的點、，與軸的交點為．設的外接圓的圓心為點．
（1）求與軸的另乙個交點d的座標；
（2）如果恰好為的直徑，且的面積等於，求和的值．
2、(2023年肇慶市)已知一元二次方程的一根為 2．
（1）求關於的關係式；
（2）求證：拋物線與軸有兩個交點；
（3）設拋物線的頂點為 m，且與 x 軸相交於a（，0）、b（，0）兩點，求使△amb 面積最小時的拋物線的解析式．
3、（2023年常德市）已知二次函式過點a （0，），b（，0），c（）．
（1）求此二次函式的解析式；
（2）判斷點m（1，）是否在直線ac上？
（3）過點m（1，）作一條直線與二次函式的圖象交於e、f兩點（不同於a，b，c三點），請自已給出e點的座標，並證明△bef是直角三角形．
二次函式知識點總結及相關典型題目
第一部分基礎知識 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函式的影象是對...
二次函式知識點總結及相關典型題目
一 基礎知識 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函式的影象是對稱軸...
二次函式知識點總結及相關典型題目
第一部分二次函式基礎知識 相關概念及定義 二次函式的概念 一般地，形如 是常數，的函式，叫做二次函式。這裡需要強調 和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 二次函式的結構特徵 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項係數，是一次項係數...