第一部分基礎知識
1.定義：一般地，如果是常數，，那麼叫做的二次函式.
2.二次函式的性質
（1）拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.
（2）函式的影象與的符號關係.
①當時拋物線開口向上頂點為其最低點；
②當時拋物線開口向下頂點為其最高點.
（3）頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.
3.二次函式的影象是對稱軸平行於（包括重合）軸的拋物線.
4.二次函式用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式
6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.
①的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；
相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
②平行於軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.
7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函式，如果二次項係數相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.
8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法
（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
（3）運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.
9.拋物線中，的作用
（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由於拋物線的對稱軸是直線
，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側.
（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當時，，∴拋物線與軸有且只有乙個交點（0，）：
①，拋物線經過原點; ②,與軸交於正半軸；③,與軸交於負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則.
10.幾種特殊的二次函式的影象特徵如下：
11.用待定係數法求二次函式的解析式
（1）一般式：.已知影象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
（2）頂點式：.已知影象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
（3）交點式：已知影象與軸的交點座標、，通常選用交點式：.
12.直線與拋物線的交點
（1）軸與拋物線得交點為(0,).
（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
（3）拋物線與軸的交點
二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
（4）平行於軸的直線與拋物線的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
（5）一次函式的影象與二次函式的影象的交點，由方程組的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方程組只有一組解時與只有乙個交點；③方程組無解時與沒有交點.
（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
第二部分典型習題
１.拋物線y＝x2＋2x－2的頂點座標是 （ d ）
a.（2，－2） b.（1，－2） c.（1，－3） d.（－1，－3）
２.已知二次函式的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ c ）
ａ．ab＞0，c＞0 ｂ．ab＞0，c＜0 ｃ．ab＜0，c＞0 ｄ．ab＜0，c＜0
第２,３題圖第4題圖
３.二次函式的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ｄ ）
a．a＞0，b＜0，c＞0 b．a＜0，b＜0，c＞0
c．a＜0，b＞0，c＜0 d．a＜0，b＞0，c＞0
４.如圖，已知中，bc=8，bc上的高，d為bc上一點，，交ab於點e，交ac於點f（ef不過a、b），設e到bc的距離為，則的面積關於的函式的圖象大致為（ ｄ ）
５.拋物線與x軸分別交於a、b兩點，則ab的長為 4 ．
6.已知二次函式與x軸交點的橫座標為、（），則對於下列結論：①當x＝－2時，y＝1；②當時，y＞0；③方程有兩個不相等的實數根、；④，；⑤，其中所有正確的結論是 ①③④ （只需填寫序號）．
7.已知直線與x軸交於點a，與y軸交於點b；一拋物線的解析式為.
（1）若該拋物線過點b，且它的頂點p在直線上，試確定這條拋物線的解析式；
（2）過點b作直線bc⊥ab交x軸交於點c，若拋物線的對稱軸恰好過c點，試確定直線的解析式.
解：（1）或
將代入，得.頂點座標為，由題意得，解得.
（2）8.有乙個運算裝置，當輸入值為x時，其輸出值為，且是x的二次函式，已知輸入值為,0,時, 相應的輸出值分別為5, ,．
（1）求此二次函式的解析式；
（2）在所給的座標系中畫出這個二次函式的圖象,並根據圖象寫出當輸出值為正數時輸入值的取值範圍.
解：（1）設所求二次函式的解析式為,
則,即,解得
故所求的解析式為:.
（2)函式圖象如圖所示.
由圖象可得，當輸出值為正數時，
輸入值的取值範圍是或．
9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發現：駱駝的體溫會隨外部環境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪製成下圖．請根據圖象回答：
⑴第一天中，在什麼時間範圍內這頭駱駝的體溫是上公升的?它的體溫從最低上公升到最高需要多少時間?
⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?
⑶興趣小組又在研究中發現，圖中10時到
22時的曲線是拋物線，求該拋物線的解
析式．解：⑴第一天中，從4時到16時這頭駱駝的
體溫是上公升的
它的體溫從最低上公升到最高需要12小時
⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是39℃
⑶ 10.已知拋物線與x軸交於a、
b兩點，與y軸交於點c．是否存在實數a，使得
△abc為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不
存在，請說明理由．
解：依題意，得點c的座標為（0，4）．
設點a、b的座標分別為（，0），（，0），
由，解得 ，．
∴ 點a、b的座標分別為（-3，0），（，0）．
∴ ，，
． ∴ ，
，．〈ⅰ〉當時，∠acb＝90°．
由，得．解得 ．
∴ 當時，點b的座標為（，0），，，．
於是．∴ 當時，△abc為直角三角形．
〈ⅱ〉當時，∠abc＝90°．
由，得．
解得 ．
當時，，點b（-3，0）與點a重合，不合題意．
〈ⅲ〉當時，∠bac＝90°．
由，得．
解得 ．不合題意．
綜合當時，△abc為直角三角形．
11.已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.
（1）若拋物線與x軸的兩個交點a、b分別在原點的兩側，並且ab＝，試求m的值；
（2）設c為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關於原點對稱的兩點m、n，並且 △mnc的面積等於27，試求m的值.
解: (1)ａ（x1，0）,b(x2，0) . 則x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的兩根.
∵x1 ＋ x2 ＝m , x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2 ;
又ab＝∣x1 — x2∣＝ ,
∴m2－4m＋3=0 .
解得：m=1或m=3(捨去) , ∴m的值為1 .
（2）m(a，b)，則n(－a，－b) .
∵m、n是拋物線上的兩點,
∴ ①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 . ∴a2＝－m＋2 .
∴當m＜2時，才存在滿足條件中的兩點m、n.
∴.這時m、n到y軸的距離均為,
又點c座標為（0，2－m）,而s△m n c = 27 ,
∴2××（2－m）×=27 .
∴解得m=－7 .
12.已知：拋物線與x軸的乙個交點為a（－1，0）．
（1）求拋物線與x軸的另乙個交點b的座標；
（2）d是拋物線與y軸的交點，c是拋物線上的一點，且以ab為一底的梯形abcd的面積為9，求此拋物線的解析式；
（3）e是第二象限內到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點，如果點e在（2）中的拋物線上，且它與點a在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點p，使△ape的周長最小?若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
解法一：
（1）依題意，拋物線的對稱軸為x＝－2．
∵ 拋物線與x軸的乙個交點為a（－1，0），
∴ 由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另乙個交點b的座標為（－3，0）．
（2）∵ 拋物線與x軸的乙個交點為a（－1， 0），
t＝3a．∴ ．
∴ d（0，3a）．∴ 梯形abcd中，ab∥cd，且點c在拋物線上，
∵ c（－4，3a）．∴ ab＝2，cd＝4．
∵ 梯形abcd的面積為9，∴ ．∴ ．
∴ a±1．
∴ 所求拋物線的解析式為或．
（3）設點e座標為（，）.依題意，，，
且．∴ ．
①設點e在拋物線上，
∴． 解方程組得
∵ 點e與點a在對稱軸x＝－2的同側，∴ 點e座標為（，）．
設在拋物線的對稱軸x＝－2上存在一點p，使△ape的周長最小．
∵ ae長為定值，∴ 要使△ape的周長最小，只須pa＋pe最小．
∴ 點a關於對稱軸x＝－2的對稱點是b（－3，0），
∴ 由幾何知識可知，p是直線be與對稱軸x＝－2的交點．
二次函式知識點總結及相關典型題目
第一部分基礎知識 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函式的影象是對...
二次函式知識點總結及相關典型題目
一 基礎知識 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函式的影象是對稱軸...
二次函式知識點總結及相關典型題目
第一部分二次函式基礎知識 相關概念及定義 二次函式的概念 一般地，形如 是常數，的函式，叫做二次函式。這裡需要強調 和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 二次函式的結構特徵 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項係數，是一次項係數...