一．基礎知識
1.定義：一般地，如果是常數，，那麼叫做的二次函式.
2.二次函式的性質
（1）拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.
（2）函式的影象與的符號關係.
①當時拋物線開口向上頂點為其最低點；
②當時拋物線開口向下頂點為其最高點.
（3）頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.
3.二次函式的影象是對稱軸平行於（包括重合）軸的拋物線.
4.二次函式用配方法可化成：的形式，
其中.5.二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式
6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.
①的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；
相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
②平行於軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.
7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函式，如果二次項係數相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.
8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法
（1）公式法：，頂點是，
對稱軸是直線.
（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
（3）運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
9.拋物線中，的作用
（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由於拋物線的對稱軸是直線
，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側.
（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當時，，∴拋物線與軸有且只有乙個交點（0，）：
①，拋物線經過原點; ②,與軸交於正半軸；③,與軸交於負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則.
10.幾種特殊的二次函式的影象特徵如下：
11．a,b,c, b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符號的確定
12．二次函式值恆正或恆負的條件：
恆正的條件：a＜0且；恆負的條件：a＞0且。
13．拋物線的平移規律：①在頂點式的基礎上---「左加右減，上加下減」。
②在一般式的基礎上---
14．兩拋物線關於座標軸對稱的條件：
拋物線關於x軸對稱的解析式：
拋物線關於x軸對稱的解析式：
15.用待定係數法求二次函式的解析式
（1）一般式：.已知影象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
（2）頂點式：.已知影象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
（3）交點式：已知影象與軸的交點座標、，通常選用交點式：.
16．二次函式的最值問題
(1)公式法:y=ax2+bx+c中,當a>0時,xy最小當a<0時,x
y最大(2)配方法:y=a(x-h)2+k,若a>0,當xy最小若a<0,當x
y最大17.直線與拋物線的交點
（1）軸與拋物線得交點為(0,).
（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
（3）拋物線與軸的交點
二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
（4）平行於軸的直線與拋物線的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
（5）一次函式的影象與二次函式的影象的交點，由方程組的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方程組只有一組解時與只有乙個交點；③方程組無解時與沒有交點.
（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
二．典型題目
一、選擇題
1．拋物線y=x2+2x-3與x軸的交點的個數有( )
a.0個b.1個c.2個d.3個
2．二次函式y=(x-1)2+2的最小值是( )
a.-2b.2c.-1d.1
3．用配方法將二次函式y=3x2-4x-2寫成形如y=a(x+m)2+n的形式,則m,n的值分別是( )
a.m=,n= b.m=-,n=- c.m=2,n=6 d.m=2,n=-2
4．關於x的一元二次方程x2-x-n=0沒有實數根,則拋物線y=x2-x-n的頂點在( )
a.第一象限b.第二象限c.第三象限 d.第四象限
5．拋物線可由拋物線（ ）而得到。
a．先向左平移2個單位，再向下平移1個單位；
b．先向左平移2個單位，再向上平移1個單位；
c．先向右平移2個單位，再向下平移1個單位；
d．先向右平移2個單位，再向上平移1個單位。
6．已知二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如右上圖所示，給出以下結論：① a+b+c<0；②a-b+c<0；③b+2a<0；④abc>0；⑤其中所有正確結論的序號是（ ）
abcd．①②③
7．①②
③④ 其中，函式y的值隨著x值得增大而減少的是（ ）
abcd、④
8．已知拋物線的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
a．；b．若y＝0，則與x軸的交點是（－1，0），（3，0）；
c．y隨x的增大而減小的自變數x的範圍是：x＞1；
d．若y0，則x的取值範圍是：x＜－1或 x＞3
9．小明、小亮、小梅、小花四人共同**代數式x2－4x+5的值的情況．他們作了如下分工：小明負責找其值為1時的x的值，小亮負責找其值為0時的x的值，小梅負責找最小值，小花負責找最大值，幾分鐘後，各自通報**的結論，其中錯誤的是（ ）
a．小明認為只有當x=2時，x2－4x+5的值為1
b．小亮認為找不到實數x，使x2－4x+5的值為0
c．小梅發現x2－4x+5的值隨x的變化而變化，因此認為沒有最小值
d．小花發現當x取大於2的實數時，x2－4x+5的值隨x的增大而增大，因此認為沒有最大值
10.拋物線的頂點座標在第三象限，則的值為（ ）
a． b． c． d． ．
11．已知二次函式y=3(x-1)2+k的圖象上有a(,y1)、b(2,y2)、c(-,y3)三個點,則y1、y2、y3的大小關係為( )
a.y1>y2>y3b.y2>y1>y3c.y3>y1>y2d.y3>y2>y1
12．由於被墨水汙染,一道數學題僅能見到如下文字:「已知二次函式y=x2+bx+c的圖象過點(1,0)……求證:這個二次函式的圖象關於直線x=2對稱.
」根據現有資訊,題中的二次函式圖象不具有的性質是( )
a.過點(3,0b.頂點為(2,-2)
c.在x軸上截得的線段長是2d.與y軸的交點是(0,3)
13．如圖函式y=ax2-bx+c的圖象過點(-1,0),
則的值是 ( )
a.-3 b.3 c.-1 d.1
14．已知二次函式y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下面結論:
(1)a+b+c<0; (2)a-b+c>0;
(3)abc>04)b=2a.
其中正確的結論有( )
a.4個 b.3個 c.2個 d.1個
15．二次函式y=ax2＋bx＋c的圖象在x軸的上方的條件是（ ）
a．a＞0，b2－4ac＞0b．a＞0，b2－4ac＜0
c．a＜0，b2－4ac＞0d．a＜0，b2－4ac＜0
16．如圖，如果函式y=kx＋b的圖象在第
一、二、三象限內，那麼函式y=kx2＋bx－1的大致圖象是（ ）
17．已知拋物線y=ax2＋bx＋c，如圖所示，則x的方程ax2＋bx＋c－3=0的根的情況是（ ）
a．有兩個不相等的正實根
b．有兩個異號實數根
c．有兩個相等實數根
d．沒有實數根
18．下列四個函式：①y=x＋1；②y=；③y=－x2；④y=2x（－1≤x≤2）．其中圖象是中心對稱圖形，且對稱中心是原點的共有（ ）
a．1個b．2個c．3個d．4個
19．已知函式y=ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，關於係數a、b、c有下列不等式：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④2a＋b＜0；⑤a＋b＋c＞0．其中正確個數為（ ）
a．1個b．2個c．3個d．4個
20．已知二次函式y=ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，那麼下列判斷正確的是（ ）（多選）
a．abc＞0b．b2－4ac＞0
c．2a＋b＞0d．4a－2b＋c＜0
21．如圖，二次函式y=x2－4x＋3的圖象交x軸於a、b兩點，交y軸於點c，則△abc的面積為（ ）
a．6b．4c．3d．1
22．函式y=ax2與y=ax＋a（a＜0＝在同一直角座標系中的圖象大致是（ ）
二次函式知識點總結及相關典型題目
第一部分基礎知識 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函式的影象是對...
二次函式知識點總結及相關典型題目
第一部分二次函式基礎知識 相關概念及定義 二次函式的概念 一般地，形如 是常數，的函式，叫做二次函式。這裡需要強調 和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 二次函式的結構特徵 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項係數，是一次項係數...
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