一、二次函式的概念和影象
1、二次函式的概念
一般地，如果，那麼y叫做x 的二次函式。
叫做二次函式的一般式。
2、二次函式的影象
二次函式的影象是一條關於對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。
拋物線的主要特徵：
①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。
3、二次函式影象的畫法
二、二次函式的解析式
二次函式的解析式有三種形式：
（1）一般式：
（2）頂點式：
三、二次函式的性質
1、二次函式的性質
2、二次函式中，的含義：
表示開口方向： >0時，拋物線開口向上
<0時，拋物線開口向下
與對稱軸有關：對稱軸為x=
表示拋物線與y軸的交點座標：（0，）
3、二次函式與一元二次方程的關係
一元二次方程的解是其對應的二次函式的影象與x軸的交點座標。
因此一元二次方程中的，在二次函式中表示影象與x軸是否有交點。
當》0時，影象與x軸有兩個交點；
當=0時，影象與x軸有乙個交點；
當<0時，影象與x軸沒有交點。
2、函式平移規律（中考試題中，只佔3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節省做題的時間）
左加右減、上加下減
四、二次函式的最值
如果自變數的取值範圍是全體實數，那麼函式在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。
如果自變數的取值範圍是，那麼，首先要看是否在自變數取值範圍內，若在此範圍內，則當x=時，；
若不在此範圍內，則需要考慮函式在範圍內的增減性，
如果在此範圍內，y隨x的增大而增大，則當時，，當時，；
如果在此範圍內，y隨x的增大而減小，則當時，，當時，。
典型例題
1. 如圖為拋物線的影象，a、b、c 為拋物線與座標軸的交點，且oa=oc=1，則下列關係中正確的是
a．a＋b=－1 b． a－b=－1 c． b<2a d． ac<0
3. 二次函式的圖象如圖所示，則反比例函式與一次函式在同一座標系中的大致圖象是（ ）.
4. 如圖，已知二次函式的圖象經過點（－1，0），（1，－2），當隨的增大而增大時，的取值範圍是 ．
5. 在平面直角座標系中，將拋物線繞著它與y軸的交點旋轉180°，所得拋物線的解析式是（ ）．
ab．cd．6. 已知二次函式的影象如圖，其對稱軸，給出下列結果①②③④⑤，則正確的結論是（ ）
a ①②③④ b ②④⑤ c ②③④ d ①④⑤
7．拋物線上部分點的橫座標，縱座標的對應值如下表：
從上表可知，下列說法中正確的是填寫序號）
①拋物線與軸的乙個交點為（3,0）； ②函式的最大值為6；
③拋物線的對稱軸是； ④在對稱軸左側，隨增大而增大．
8. 如圖，在平面直角座標系中，o是座標原點，點a的座標是（－2，4），過點a作ab⊥y軸，垂足為b，鏈結oa．
(1)求△oab的面積；
(2)若拋物線經過點a．
①求c的值；
9．已知二次函式y= x 2+ x的影象如圖．
（1）求它的對稱軸與x軸交點d的座標；
（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設平移後的拋物線與x軸、y軸的交點分別為
a、b、c三點，若∠acb=90°，求此時拋物線的解析式；
（3）設（2）中平移後的拋物線的頂點為m，以ab為直徑，d為圓心作⊙d，試判斷直線cm與⊙d的位置關係，並說明理由．
10. 如圖10，在平面直角座標系xoy中，ab在x軸上，ab＝10，以ab為直徑的⊙o′與y軸正半軸交於點c，連線bc，ac.cd是⊙o′的切線，ad⊥cd於點d，tan∠cad＝，拋物線過a，b，c三點.
（1）求證：∠cad＝∠cab；
（2）①求拋物線的解析式；
②判定拋物線的頂點e是否在直線cd上，並說明理由；
（3）在拋物線上是否存在一點p，使四邊形pbca是直角梯形.若存在，直接寫出點p的座標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由.
11. 如圖所示，在平面直角座標系中，四邊形abcd是直角梯形，bc∥ad，∠bad= 90°，bc與y軸相交於點m，且m是bc的中點，a、b、d三點的座標分別是a（-1，0），b( -1，2)，d( 3，0)，連線dm，並把線段dm沿da方向平移到on，若拋物線y=ax2+bx+c經過點d、m、n．
（1）求拋物線的解析式
（2）拋物線上是否存在點p．使得pa= pc．若存在，求出點p的座標；若不存在．請說明理由。
（3）設拋物線與x軸的另—個交點為e．點q是拋物線的對稱軸上的—個動點，當點q在什麼位置時有最大？並求出最大值。
12．如圖，拋物線y=x2+bx－2與x軸交於a、b兩點，與y軸交於c點，且a（一1，0）．
⑴求拋物線的解析式及頂點d的座標；⑵判斷△abc的形狀，證明你的結論；
⑶點m(m，0)是x軸上的乙個動點，當cm+dm的值最小時，求m的值．
二次函式知識點總結與典型例題
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