一、二次函式的概念和影象
1、二次函式的概念
一般地，如果，那麼y叫做x 的二次函式。
叫做二次函式的一般式。
2、二次函式的影象
二次函式的影象是一條關於對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。
拋物線的主要特徵：
①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。
3、二次函式影象的畫法
五點法：
（1）先根據函式解析式，求出頂點座標，在平面直角座標系中描出頂點m，並用虛線畫出對稱軸
（2）求拋物線與座標軸的交點：
當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點a,b及拋物線與y軸的交點c，再找到點c的對稱點d。將這五個點按從左到右的順序連線起來，並向上或向下延伸，就得到二次函式的影象。
當拋物線與x軸只有乙個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點c及對稱點d。由c、m、d三點可粗略地畫出二次函式的草圖。如果需要畫出比較精確的影象，可再描出一對對稱點a、b，然後順次連線五點，畫出二次函式的影象。
二、二次函式的解析式
二次函式的解析式有三種形式：
（1）一般式：
（2）頂點式：
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根和存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函式可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。
三、二次函式的性質
1、二次函式的性質
2、二次函式中，的含義：
表示開口方向： >0時，拋物線開口向上
<0時，拋物線開口向下
與對稱軸有關：對稱軸為x=
表示拋物線與y軸的交點座標：（0，）
3、二次函式與一元二次方程的關係
一元二次方程的解是其對應的二次函式的影象與x軸的交點座標。
因此一元二次方程中的，在二次函式中表示影象與x軸是否有交點。
當》0時，影象與x軸有兩個交點；
當=0時，影象與x軸有乙個交點；
當<0時，影象與x軸沒有交點。
補充：1、兩點間距離公式（當遇到沒有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）
y如圖：點a座標為（x1，y1）點b座標為（x2，y2）
則ab間的距離，即線段ab的長度為a0xb
2、函式平移規律（中考試題中，只佔3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節省做題的時間）
左加右減、上加下減
四、二次函式的最值
如果自變數的取值範圍是全體實數，那麼函式在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。
如果自變數的取值範圍是，那麼，首先要看是否在自變數取值範圍內，若在此範圍內，則當x=時，；
若不在此範圍內，則需要考慮函式在範圍內的增減性，
如果在此範圍內，y隨x的增大而增大，則當時，，當時，；
如果在此範圍內，y隨x的增大而減小，則當時，，當時，。
典型例題
1. 已知函式，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（ ）
a．0 b．1 c．2 d．3
【答案】d
2. 如圖為拋物線的影象，a、b、c 為拋物線與座標軸的交點，且oa=oc=1，則下列關係中正確的是
a．a＋b=－1 b． a－b=－1 c． b<2a d． ac<0
【答案】b
3. 二次函式的圖象如圖所示，則反比例函式與一次函式在同一座標系中的大致圖象是（ ）.
【答案】d
4. 如圖，已知二次函式的圖象經過點（－1，0），（1，－2），當隨的增大而增大時，的取值範圍是 ．
【答案】
5. 在平面直角座標系中，將拋物線繞著它與y軸的交點旋轉180°，所得拋物線的解析式是（ ）．
ab．cd．【答案】b
6. 已知二次函式的影象如圖，其對稱軸，給出下列結果①②③④⑤，則正確的結論是（ ）
a ①②③④ b ②④⑤ c ②③④ d ①④⑤
【答案】 d
7．拋物線上部分點的橫座標，縱座標的對應值如下表：
從上表可知，下列說法中正確的是填寫序號）
①拋物線與軸的乙個交點為（3,0）； ②函式的最大值為6；
③拋物線的對稱軸是； ④在對稱軸左側，隨增大而增大．
【答案】①③④
8. 如圖，在平面直角座標系中，o是座標原點，點a的座標是（－2，4），過點a作ab⊥y軸，垂足為b，鏈結oa．
(1)求△oab的面積；
(2)若拋物線經過點a．
①求c的值；
②將拋物線向下平移m個單位，使平移後得到的拋物線頂點落在△oab的內部（不包括△oab的邊界），求m的取值範圍（直接寫出答案即可）．
解：(1) ∵點a的座標是（－2，4），ab⊥y軸，
∴ab=2，ob＝4，∴
(2)①把點a的座標（－2，4）代入，
得，∴c＝4
②∵，∴拋物線頂點d的座標是(－1，5)，ab的中點e的座標是（－1，4），oa的中點f的座標是（－1，2），
∴m的取值範圍為l9．已知二次函式y= x 2+ x的影象如圖．
（1）求它的對稱軸與x軸交點d的座標；
（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設平移後的拋物線與x軸、y軸的交點分別為
a、b、c三點，若∠acb=90°，求此時拋物線的解析式；
（3）設（2）中平移後的拋物線的頂點為m，以ab為直徑，d為圓心作⊙d，試判斷直線cm與⊙d的位置關係，並說明理由．
解：（1）二次函式y=-x2+x的對稱軸為x=3，∴d（3，0）．
（2）設拋物線向上平移h個單位（h＞0），則平移後的拋物線解析式為y=-x2+x+h．
∵∠acb=90°，∴oc2=oa·ob．
設點a、b的橫座標分別為x1、x2，則h2=- x1·x2．
∵x1、x2是一元二次方程-x2+x+h=0的兩個根，
∴x1·x2=-4h，∴h2=4h，∴h=4，∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4．
（3）cm與⊙d相切，理由如下：
鏈結cd、cm，過點c作**⊥dm於點d，如下圖所示：
∵ab是⊙d的直徑，∠acb=90°，
∴點c在⊙d上．
根據平移後的拋物線的解析式y=-x2+x+4可得：od=3，oc=4，dm=，cd=5．
∴**=3，mn=，∴cm=．∵cm=，cd=5，dm=，
∴△cdm是直角三角形且∠dcm=90°，∴cm與⊙d相切．
10. 如圖10，在平面直角座標系xoy中，ab在x軸上，ab＝10，以ab為直徑的⊙o′與y軸正半軸交於點c，連線bc，ac.cd是⊙o′的切線，ad⊥cd於點d，tan∠cad＝，拋物線過a，b，c三點.
（1）求證：∠cad＝∠cab；
（2）①求拋物線的解析式；
②判定拋物線的頂點e是否在直線cd上，並說明理由；
（3）在拋物線上是否存在一點p，使四邊形pbca是直角梯形.若存在，直接寫出點p的座標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由.
（1）證明：連線o′c.
∵cd是⊙o′的切線，∴o′c⊥cd．
∵ad⊥cd，∴o′c∥ad，∴∠o′ca＝∠cad．
∵o′c＝o′a，∴∠o′ca＝∠cab， ∴∠cad＝∠cab．
（2）①∵ab是⊙o′的直徑，∴∠acb＝90°
∵oc⊥ab，∴∠cab＝∠ocb，∴△cao∽△bco，∴
即．∵tan∠cao＝tan∠cad＝，∴oa＝2oc
又∵ab＝10oc＞0
∴oc＝4，oa＝8，ob＝2．∴a（－8，0），b（2，0），c（0，4）．
∵拋物線過a，b，c三點.∴c＝4
由題意得，解之得， ∴．
設直線dc交x軸於點f，易證△aoc≌△adc，∴ad＝ao＝8.
∵o′c∥ad，∴△fo′c∽△fad，∴
∴8(bf＋5)＝5(bf＋10)，∴，∴．
設直線dc的解析式為，則，即
∴．由得
頂點e的座標為．將代入直線dc的解析式中，
右邊左邊.∴拋物線的頂點e在直線cd上．
11. 如圖所示，在平面直角座標系中，四邊形abcd是直角梯形，bc∥ad，∠bad= 90°，bc與y軸相交於點m，且m是bc的中點，a、b、d三點的座標分別是a（-1，0），b( -1，2)，d( 3，0)，連線dm，並把線段dm沿da方向平移到on，若拋物線y=ax2+bx+c經過點d、m、n．
（1）求拋物線的解析式
（2）拋物線上是否存在點p．使得pa= pc．若存在，求出點p的座標；若不存在．請說明理由。
（3）設拋物線與x軸的另—個交點為e．點q是拋物線的對稱軸上的—個動點，當點q在什麼位置時有最大？並求出最大值。
（1）解：由題意可得m（0，2），n（-3，2）
解得：∴y=（2）∵pa= pc ，∴p在ac的垂直平分線上，依題意，ac的垂直平分線經過b（-1，2），（1，0），
這條直線為y=－x+1．
解得：，
∴p1（）， p2（）．
（3）d為e關於對稱軸x=1．5對稱，cd所在的直線y=－x+3．
二次函式知識點總結與典型例題
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