二次函式各知識點、考點、典型例題及對應練習（超全）
【典型例題】
題型 1 二次函式的概念
例1（基礎）.二次函式的影象的頂點座標是（ ）
a．（-1，8） b.（1，8） c（-1，2） d（1，-4）
點撥：本題主要考察二次函式的頂點座標公式
例2.（拓展，2023年武漢市中考題，12）
下列命題中正確的是
若b2－4ac＞0，則二次函式y=ax2+bx+c的圖象與座標軸的公共點的個數是2或3
若b2－4ac=0，則二次函式y=ax2+bx+c的圖象與x軸只有乙個交點，且這個交點就是拋物線頂點。
當c=－5時，不論b為何值，拋物線y=ax2+bx+c一定過y軸上一定點。
若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有唯一公共點，則方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根。
若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點a、b，與y軸交於c點，c=4，s△abc=6，則拋物線解析式為y=x2－5x+4。
若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點在x軸下方，則一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根。
若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過原點，則一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根為0。
若a－b+c=2，則拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）必過一定點。
若b2＜3ac，則拋物線y=ax2+bx+c與x軸一定沒有交點。
若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，則函式y=cx2+bx+a的圖象與x軸必有兩個交點。
若b=0，則拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點乙個在原點左邊，乙個在原點右邊。
點撥：本題主要考查二次函式圖象及其性質，一元二次方程根與係數的關係，及二次函式和一元二次方程二者之間的聯絡。複習時，抓住係數a、b、c對圖形的影響的基本特點，提公升學生的數形結合能力，抓住拋物線的四點一軸與方程的關係，訓練學生對函式、方程的數學思想的運用。
題型2 二次函式的性質
例3 若二次函式的影象開口向上，與x軸的交點為（4，0），（-2，0）知，此拋物線的對稱軸為直線x=1，此時時，對應的y1 與y2的大小關係是（ ）
a．y1 y2 d.不確定
點撥：本題可用兩種解法
解法1：利用二次函式的對稱性以及拋物線上函式值y隨x的變化規律確定：a>0時，拋物線上越遠離對稱軸的點對應的函式值越大；a<0時，拋物線上越靠近對稱軸的點對應的函式值越大
解法2：求值法：將已知兩點代入函式解析式，求出a，b的值再把橫座標值代入求出y1 與y2 的值，進而比較它們的大小
【舉一反三】
變式1：已知二次函式上兩點，試比較的大小
變式2：已知二次函式上兩點，試比較的大小
變式3：已知二次函式的影象與的影象關於y軸對稱，是前者影象上的兩點，試比較的大小
題型3 二次函式的影象
例4 如圖所示，正方形abcd的邊長為10，四個全等的小正方形的對稱中心分別在正方形abcd的頂點上，且它們的各邊與正方形abcd各邊平行或垂直，若小正方形的邊長為x，且0題型4 二次函式影象性質（共存問題、符號問題）
例5、（2009湖北省荊門市）函式y=ax＋1與y=ax2＋bx＋1（a≠0）的圖象可能是（ ）
點撥：本題考查函式圖象與性質，當時，直線從左向右是上公升的，拋物線開口向上，d是錯的，函式y=ax＋1與y=ax2＋bx＋1（a≠0）的圖象必過（0，1），所以c是正確的，故選c．
例6 已知=次函式y＝ax+bx+c的圖象如圖．則下列5個代數式：ac，a+b+c，4a－2b+c， 2a+b，2a－b中，其值大於0的個數為（ ）
a．2b 3c、4d、5
點撥：本題考查二次函式影象性質，a的符號由開口方向確定，b的符號由對稱軸和a共同決定，c看其與y軸的交點座標，a+b+c，4a－2b+c看x取某個特殊值時y的值可從影象中直觀發現
題型5 二次函式的平移
例7.將拋物線向下平移1個單位，得到的拋物線是（ ）
a． b． c． d．
題型6 二次函式應用銷售利潤類問題
例8 某商品的進價每件為50元，現在的售價為每件60元，每星期可賣出70件，市場調查反映：如果每件的售價每漲10元（售價每件不能高於140元），那麼每星期少賣5件，設每件漲價x元（x為10的正整數倍），每週銷售量為y件 。
⑴ 求y與x的函式關係式及自變數x的取值範圍。
⑵ 如何定價才能使每週的利潤最大且每週銷量較大？每週的最大利潤是多少？
點撥：銷售總利潤=銷售量×(售價-進價) 本類題主要考查學生用二次函式知識解決實際問題中的最值問題（如最大利潤、最大面積、材料最值、時間最少，效率最高等問題），及函式自變數取值對最值的約束等知識。複習時注意，自變數的取值限制條件：
如正整數倍，非負整數倍，自然數倍，2的整數倍等條件的限制。
題型7 二次函式與幾何圖形綜合(面積、動點)
例9 已知二次函式（）的圖象經過點，，，直線（）與軸交於點．
（1）求二次函式的解析式；
（2）在直線（）上有一點（點在第四象限），使得為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似，求點座標（用含的代數式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，請求出的值及四邊形的面積；若不存在，請說明理由．
圖2點撥：本類題主要考察二次函式表示式的求法，二次函式與幾何知識的運用。面廣，知識綜合性強。
複習時要著重深究點、線、麵中所包含的隱含條件，要用運動、發展、全面的觀點去分析圖形，並注意到圖形運動過程中的特殊位置。
【基礎達標訓練】
一、選擇題
1. (2023年四川省內江市)拋物線的頂點座標是（ ）
a．（2，3） b．（－2，3） c．（2，－3） d．（－2，－3）
2.（2023年桂林市、百色市）二次函式的最小值是（ ）．
a．2 b．1 c．－3 d．
3.(2023年上海市)拋物線（是常數）的頂點座標是（ ）
a． b． c． d．
4.(2023年陝西省)根據下表中的二次函式的自變數x與函式y的對應值，可判斷二次函式的影象與x軸
a．只有乙個交點
b．有兩個交點，且它們分別在y軸兩側
c．有兩個交點，且它們均在y軸同側
5.已知二次函式的圖象如圖所示，則下列結論：；方程的兩根之和大於0；隨的增大而增大；④，其中正確的個數（）
a．4個 b．3個 c2個 d．1個
6. 二次函式的圖象如圖2所示，若點a（1，y1）、b（2，y2）是它圖象上的兩點，則y1與y2的大小關係是
a． b． c． d．不能確定
7. （2009煙台市）二次函式的圖象如圖所示，則一次函式與反比例函式在同一座標系內的圖象大致為（ ）
8.（2023年台灣）向上發射一枚炮彈，經x秒後的高度為y公尺，且時間與高度關係為y=ax2 bx。若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則再下列哪乙個時間的高度是最高的？
(a) 第8秒 (b) 第10秒 (c) 第12秒 (d) 第15秒 。
9. (2023年南充)拋物線的對稱軸是直線（ ）
a． b． c． d．
10. （2023年遂寧）把二次函式用配方法化成的形式
ab.cd.
二、填空題
11. （2023年甘肅慶陽）圖6（1）是乙個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m．如圖6（2）建立平面直角座標系，則拋物線的關係式是
12. (2023年上海市) 把拋物線y＝ax+bx+c的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得的圖象的解析式是y＝x－3x+5，則a+b+c
13. （2023年淄博市） 請寫出符合以下三個條件的乙個函式的解析式
①過點；
②當時，y隨x的增大而減小；
③當自變數的值為2時，函式值小於2．
14.（2023年婁底）如圖7，⊙o的半徑為2，c1是函式y=x2的圖象，c2是函式y=-x2的圖象，則陰影部分的面積是
15. （2009**市）拋物線的部分圖象如圖8所示，請寫出與其關係式、圖象相關的2個正確結論對稱軸方程，圖象與x正半軸、y軸交點座標例外）
16. （2023年包頭）將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，並以每一段鐵絲的長度為周長各做成乙個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值
是 cm2．
17. （2023年黃石市）若拋物線與的兩交點關於原點對稱，則分別為 ．
18、（2023年蘭州）二次函式的圖象如圖12所示，點位於座標原點， 點，，，…，在y軸的正半軸上，點，，，…，在二次函式位於第一象限的圖象上，若△,△，△，…，△
都為等邊三角形，則△的邊長
三、解答題
19. （2023年內蒙古包頭）某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規定試銷期間銷售單價不低於成本單價，且獲利不得高於45%，經試銷發現，銷售量（件）與銷售單價（元）符合一次函式，且時，；時，．
（1）求一次函式的表示式；
（2）若該商場獲得利潤為元，試寫出利潤與銷售單價之間的關係式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
（3）若該商場獲得利潤不低於500元，試確定銷售單價的範圍．
20. ( 安徽省)心理學家發現，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函式關係：
y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。
y值越大，表示接受能力越強。
(1)x在什麼範圍內，學生的接受能力逐步增強？x在什麼範圍內，學生的接受能力逐步降低？
二次函式各知識點 考點 典型例題及對應練習 超全
二次函式 專題一 二次函式的圖象與性質 考點1.二次函式圖象的對稱軸和頂點座標 二次函式的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是直線x 頂點座標是 例1 已知，在同一直角座標系中，反比例函式與二次函式的影象交於點 1 求 的值 2 求二次函式影象的對稱軸和頂點座標.考點2.拋物線與a b c的關係 拋物線y...
二次函式各知識點 考點 典型例題及對應練習 超全
專題一 二次函式的圖象與性質 本專題涉及二次函式概念，二次函式的圖象性質，拋物線平移後的表示式等.試題多以填空題 選擇題為主，也有少量的解答題出現.考點1.二次函式圖象的對稱軸和頂點座標 二次函式的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是直線x 頂點座標是 例1 已知，在同一直角座標系中，反比例函式與二次函式...
二次函式知識點及典型例題
二次函式 一 二次函式的幾何變換 二 二次函式的圖象和性質 y a xh 2 k a0 的圖象和性質 y ax2 bx c a0 的圖象和性質 a b c的符號對拋物線形狀位置的影響 三 待定係數法求二次函式的解析式 1 一般式 已知影象上三點或三對 的值，通常選擇一般式。2 頂點式 已知影象的頂點...