初中二次函式講解
定義與定義表示式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
y=ax+bx+c
（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。|a|還可以決定開口大小,|a|越大開口就越小,|a|越小開口就越大。）
則稱y為x的二次函式。
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
x是自變數，y是x的函式
二次函式的三種表示式
①一般式：y=ax+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
②頂點式[拋物線的頂點 (h，k) ]：y=a(x-h) +k
③交點式[僅限於與x軸有交點 a(x1,0) 和 b(x2,0) 的拋物線]：y=a(x- x)(x- x)
以上3種形式可進行如下轉化：
①一般式和頂點式的關係
對於二次函式y=ax+bx+c，其頂點座標為(-b/2a,(4ac-b)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b)/4a
②一般式和交點式的關係
x1,x2=[-b±√(b-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
二次函式的影象
在平面直角座標系中作出二次函式y=x^2的影象，
可以看出，二次函式的影象是一條永無止境的拋物線。
拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有乙個頂點p，座標為p ( -b/2a ，(4ac-b)/4a )
當-b/2a=0時，p在y軸上；當δ= b-4ac=0時，p在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。【因為由它的對稱抽決定即，—b/2a】
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數【二次函式與一元二次方程的關係】
δ= b-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
δ= b-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
_______
δ= b-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數（x= -b±√b－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）
當a>0時，函式在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a；在上是減函式，在上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax+c(a≠0)
7.定義域：r
值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：偶函式 【關於點對稱的函式是奇函式，關於一條軸對稱的是偶函式】
週期性：無
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b)/4a）；
⑷δ=b-4ac,
δ＞0，圖象與x軸交於兩點：
（[-b+√δ]/2a，0）和（[-b+√δ]/2a，0）；
δ＝0，圖象與x軸交於一點：
（-b/2a，0）；
δ＜0，圖象與x軸無交點；
②y=a(x-h) +t[配方式]
此時，對應極值點為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b)/4a）；
二次函式與一元二次方程
特別地，二次函式（以下稱函式）y=ax+bx+c，
當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax+bx+c=0
此時，函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
1．二次函式y=ax，y=a(x-h) ，y=a(x-h) +k，y=ax+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點座標及對稱軸如下表：
解析式y=ax
y=a(x-h)
y=a(x-h) +k
y=ax+bx+c
頂點座標
(0，0)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，sqrt[4ac-b]/4a)
對稱軸x=0x=hx=hx=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h) 的圖象可由拋物線y=ax向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h) +k的圖象；
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h) +k的圖象；
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h) +k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h) +k的圖象；
因此，研究拋物線 y=ax+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h) +k的形式，可確定其頂點座標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點座標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．拋物線y=ax+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax+bx+c的圖象與座標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點座標為(0，c)；
(2)當△=b-4ac>0，圖象與x軸交於兩點a(x，0)和b(x，0)，其中的x, x是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離ab=|x-x| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－a |（a為其中一點的橫座標）
當△=0．圖象與x軸只有乙個交點；
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫座標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱座標，是最值的取值．
6．用待定係數法求二次函式的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h) +k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時，可設解析式為兩根式：y=a(x- x)(x-x)(a≠0)．
7．二次函式知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．
初中二次函式知識點總結全面
5.二次函式y x2 2x 1的對稱軸方程是 6.若將二次函式y x2 2x 3配方為y x h 2 k的形式，則y 8.拋物線y x2 bx c，經過a 1，0 b 3，0 兩點，則這條拋物線的解析式為 9 二次函式的對稱軸是 10二次函式的圖象的頂點是當x 時，y隨x的增大而減小 12 拋物線的...
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二次函式知識點 一 二次函式概念 1 二次函式的概念 一般地，形如 是常數，的函式，叫做二次函式。這裡需要強調 和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 2.二次函式的結構特徵 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項係數，是一次項係數...
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