一、二次函式概念：
1、二次函式的概念：一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式。這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零．二次函式的定義域是全體實數．
2、二次函式的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2．
⑵是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
二、二次函式的基本形式
1、二次函式基本形式：的性質： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
2、的性質： 上加下減。
3、的性質：左加右減。
4、的性質：
三、二次函式圖象的平移
1、平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2、平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」。概括成八個字「左加右減，上加下減」。
方法二：
⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）
⑵沿x軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）
四、二次函式與的比較
從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函式圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函式化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖。一般我們選取的五點為：
頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）。
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點。
6、二次函式的性質
1、當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點座標為。
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值。
2、當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點座標為。
當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值。
七、二次函式解析式的表示方法
1、一般式：（，，為常數，）；
2、頂點式：（，，為常數，）；
3、兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）。
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點。
即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示。二次函式解析式的這三種形式可以互化。
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1、二次項係數
二次函式中，作為二次項係數，顯然．
⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；
⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．
總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2、 一次項係數
在二次項係數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸。
⑴ 在的前提下，
當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．
⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即
當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．
總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．
的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是「左同右異」。
3、常數項
⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱座標為正；
⑵ 當時，拋物線與軸的交點為座標原點，即拋物線與軸交點的縱座標為；
⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱座標為負。
總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置。
總之，只要都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的。
二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法。用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1、已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2、已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；
3、已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式；
4、已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
九、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1、關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
2、關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
3、關於原點對稱
關於原點對稱後，得到的解析式是；
關於原點對稱後，得到的解析式是；
4、關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
關於頂點對稱後，得到的解析式是；
關於頂點對稱後，得到的解析式是．
5、關於點對稱
關於點對稱後，得到的解析式是
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表示式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知的拋物線）的頂點座標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表示式。
十、二次函式與一元二次方程
1、二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況。
圖象與軸的交點個數：
① 當時，圖象與軸交於兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離。
② 當時，圖象與軸只有乙個交點；
③ 當時，圖象與軸沒有交點.
1）當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
2）當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有。
2、拋物線的圖象與軸一定相交，交點座標為，；
3、二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中，，的符號，或由二次函式中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與軸的乙個交點座標，可由對稱性求出另乙個交點座標；
⑸ 與二次函式有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函式；下面以時為例，揭示二次函式、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯絡：
影象參考：
十一、函式的應用
二次函式應用
二次函式考查重點與常見題型
1、考查二次函式的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：
已知以為自變數的二次函式的影象經過原點， 則的值是
2、 綜合考查正比例、反比例、一次函式、二次函式的影象，習題的特點是在同一直角座標系內考查兩個函式的影象，試題型別為選擇題，如：
如圖，如果函式的影象在第
一、二、三象限內，那麼函式的影象大致是（ ）
abcd
3、考查用待定係數法求二次函式的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題型別有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：
已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。
4、考查用配方法求拋物線的頂點座標、對稱軸、二次函式的極值，有關試題為解答題，如：
已知拋物線（a≠0）與x軸的兩個交點的橫座標是－1、3，與y軸交點的縱座標是－
（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點座標.
5、考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。
【例題經典】
由拋物線的位置確定係數的符號
例1 （1）二次函式的影象如圖1，則點在（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
（2）已知二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函式值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
12)【點評】弄清拋物線的位置與係數a，b，c之間的關係，是解決問題的關鍵。
例2.已知二次函式y=ax2+bx+c的圖象與x軸交於點(-2，o)、(x1，0)，且1o；③4a+co，其中正確結論的個數為( )
a 1個 b. 2個 c. 3個 d．4個答案：d
會用待定係數法求二次函式解析式
例3.已知：關於x的一元二次方程ax2+bx+c=3的乙個根為x=-2，且二次函式y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點座標為( )
a(2，-3) b.(2，1) c(2，3) d．(3，2答案：c
例4、如圖（單位：m），等腰三角形abc以2公尺/秒的速度沿直線l向正方形移動，直到ab與cd重合．設x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2．
（1）寫出y與x的關係式；
初中二次函式知識點總結
二次函式 1.一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.拋物線的三要素 開口方向 對稱軸 頂點.3.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函式，如果二次項係數相同，那麼拋物線的開口方向 開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.4.求拋物線的頂點 對稱軸的方法 1 公式法 頂點是，對稱軸是直線.5.拋物...
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