二次函式
一、中考導航圖
1.二次函式的意義;2.二次函式的圖象;3.二次函式的性質
頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
4.二次函式待定係數法確定函式解析式一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
5.二次函式與一元二次方程的關係。
6.拋物線y=ax2+bx+c的圖象與a、b、c之間的關係。
三、中考知識梳理
1.二次函式的圖象
在畫二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象時通常先通過配方配成y=a(x+)2+的形式,先確定頂點(-,),然後對稱找點列表並畫圖,或直接代用頂點公式來求得頂點座標.
2.理解二次函式的性質
拋物線的開口方向由a的符號來確定,當a>0時,在對稱軸左側y隨x的增大而減小;在對稱軸的右側,y隨x的增大而增大;簡記左減右增,這時當x=-時,y最小值=;反之當a<0時,簡記左增右減,當x=-時y最大值=.
3.待定係數法是確定二次函式解析式的常用方法
一般地,在所給的三個條件是任意三點(或任意三對x,y的值)可設解析式為y=ax2+bx+c,然後組成三元一次方程組來求解;在所給條件中已知頂點座標或對稱軸或最大值時,可設解析式為y=a(x-h)2+k;在所給條件中已知拋物線與x軸兩交點座標或已知拋物線與x軸一交點座標和對稱軸,則可設解析式為y=a(x-x1)(x-x2)來求解.
4.二次函式與一元二次方程的關係
拋物線y=ax2+bx+c當y=0時拋物線便轉化為一元二次方程ax2+bx+c=0,即拋物線與x軸有兩個交點時,方程ax2+bx+c=0有兩個不相等實根;當拋物線y=ax2+bx+c與x軸有乙個交點,方程ax2+bx+c=0有兩個相等實根;當拋物線y=ax2+bx+c與x軸無交點,方程ax2+bx+c=0無實根.
5.拋物線y=ax2+bx+c中a、b、c符號的確定
a的符號由拋物線開口方向決定,當a>0時,拋物線開口向上;當a<0時,拋物線開口向下;c的符號由拋物線與y軸交點的縱座標決定.當c>0時,拋物線交y軸於正半軸;當c<0時,拋物線交y軸於負半軸;b的符號由對稱軸來決定.當對稱軸在y軸左側時,b的符號與a的符號相同;當對稱軸在y軸右側時,b的符號與a的符號相反;簡記左同右異.
6.會構建二次函式模型解決一類與函式有關的應用性問題,應用數形結合思想來解決有關的綜合性問題.
四、中考題型例析
1. 二次函式解析式的確定
例1 求滿足下列條件的二次函式的解析式
(1)圖象經過a(-1,3)、b(1,3)、c(2,6);
(2)圖象經過a(-1,0)、b(3,0),函式有最小值-8;
(3)圖象頂點座標是(-1,9),與x軸兩交點間的距離是6.
2. 二次函式的圖象
例2 (2003·孝感)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則點m(a,bc)在( ).
a.第一象限 b.第二象限
c.第三象限 d.第四象限
例3 (2003·岳陽)已知一次函式y=ax+c二次函式y=ax2+bx+c(a≠0),它們在同一座標系中的大致圖象是( ).
3. 二次函式的性質
例4 (2002·杭州)對於反比例函式y=-與二次函式y=-x2+3,請說出他們的兩個相同點再說出它們的兩個不同點
例5 (2003·廈門)已知拋物線y=x2+(2k+1)x-k2+k,求證:此拋物線與x軸總有兩個不同的交點.
一、選擇題:
1.(2003·大連)拋物線y=(x-2)2+3的對稱軸是( ).
a.直線x=-3 b.直線x=3 c.直線x=-2 d.直線x=2
2.(2004·重慶)二次函式y=ax2+bx+c的圖象如圖,則點m(b,)在( ).
a.第一象限; b.第二象限; c.第三象限; d.第四象限
4.(2003·杭州)把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位,再向下平移2個單位,所得圖象的解析式是y=x2-3x+5,則有( ).
5.(2004·河北)在同一直角座標系中,一次函式y=ax+c和二次函式y=ax2+c的圖象大致為( ).
6．二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值是0，那麼代數式|a|+4ac－b2的化簡結果是（ ）
a．ab．－ac．0d．1
二，實際問題與二次函式
1.某公司推出了一種高效環保型洗滌用品,年初上市後,公司經歷了從虧損到盈利的過程.下面的二次函式圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與銷售時間t(月)之間的關係(即前t個月的利潤總和s與t之間的關係).
根據圖象(圖)提供的資訊,解答下列問題:
(1)由已知圖象上的三點座標,求累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的函式關係式;
(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元;
(3)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元?
2.如圖,有一座拋物線形拱橋,在正常水位時水面ab的寬為20m,如果水位上公升3m時,水面cd的寬是10m.
(1)建立如圖所示的直角座標系,求此拋物線的解析式;
(2)現有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發需經過此橋開往乙地,已知甲地距此橋280km(橋長忽略不計).貨車正以每小時40km的速度開往乙地,當行駛1小時時,忽然接到緊急通知:前方連降暴雨,造成水位以每小時0.
25m的速度持續**(貨車接到通知時水位在cd處,當水位達到橋拱最高點o時,禁止車輛通行),試問:如果貨車按原來速度行駛,能否完全通過此橋?若能,請說明理由;若不能,要使貨車安全通過此橋,速度應超過每小時多少千公尺?
二次函式知識點總結及經典例題
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