智立方教育高一函式知識點及典型例題
一、函式的概念與表示
1、對映
（1）對映：設a、b是兩個集合，如果按照某種對映法則f，對於集合a中的任乙個元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應（包括集合a、b以及a到b的對應法則f）叫做集合a到集合b的對映，記作f：a→b.
注意點：（1）對對映定義的理解.（2）判斷乙個對應是對映的方法.一對多不是對映，多對一是對映
2、函式
構成函式概念的三要素定義域;對應法則;值域.
兩個函式是同乙個函式的條件：三要素有兩個相同
例1、例2、給出下列四個圖形，其中能表示從集合m到集合n的函式關係的有（ c ）
a、 0個 b、 1個 c、 2個 d、3個
由題意知：m=，n=，
對於圖①中，在集合m中區間（1，2]內的元素沒有象，比如f（ 3 2 ）的值就不存在，所以圖①不符合題意；
對於圖②中，對於m中任意乙個元素，n中有唯一元素與之對應，符合函式的對應法則，故②正確；
對於圖③中，對於m中任意乙個元素，n中有唯一元素與之對應，且這種對應是一一對應，故③正確；
對於圖④中，集合m的乙個元素對應n中的兩個元素．比如當x=1時，有兩個y值與之對應，不符合函式的定義，故④不正確
二、函式的解析式與定義域
1、求函式定義域的主要依據：
（1）分式的分母不為零；
（2）偶次方根的被開方數不小於零，零取零次方沒有意義；
（3）對數函式的真數必須大於零；
（4）指數函式和對數函式的底數必須大於零且不等於1；
例1、函式的定義域為
根號下的數必須為正數，又當底數為大於0小於1的數時，只有當真數大於0小於1時，才能保證根號下的數為正數。所以讓0<4x的平方-3x<1，解0<4x的平方-3x得x<0或3/44．函式的奇偶性
1．定義: 設y=f(x)，x∈a，如果對於任意∈a，都有，則稱y=f(x)為偶函式.
如果對於任意∈a，都有，則稱y=f(x)為奇函式.
2.性質：
①y=f(x)是偶函式y=f(x)的圖象關於軸對稱, y=f(x)是奇函式y=f(x)的圖象關於原點對稱,
②若函式f(x)的定義域關於原點對稱，則f(0)=0
③奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇[兩函式的定義域d1 ，d2，d1∩d2要關於原點對稱]
3．奇偶性的判斷
①看定義域是否關於原點對稱 ②看f(x)與f(-x)的關係
例1.已知函式是定義在上的偶函式. 當時，，
則當時當x∈（０，＋∞），f(x)=-x-x^4
解：當x∈（０，＋∞），－x∈(-∞,0),因為當x<0時，f(x)=x-x^4,所以把－x代入這個式子中得
f(-x)=-x-(-x)^4=-x-x^4,又因為f(x)是偶函式，所以f(-x)=f(x)
於是f(x)=-x-x^4
例2、已知定義域為的函式是奇函式.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若對任意的，不等式恆成立，求的取值範圍.
（ⅰ）因為 f(x)是奇函式，所以f(0)=0，即(b-1)/(a+2)=0 ==>b=1 f(x)=(1-2^x)/(a+2^(x+1)) 又由f（1）= -f（-1）知a=2
（ⅱ）解由（ⅰ）知f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))=-1/2+1/(2^x+1) ，易知f(x) 在正負無窮上為減函式。又因 f(x)是奇函式，從而不等式：f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等價於f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ，因f(x) 為減函式，由上式推得：
t^2-2t>k-2t^2 ．即對一切t∈r 有：3t^2-2t-k>0 ，從而判別式=4+12k<0 ==>k<-1/3
六．函式的週期性：
1．（定義）偶函式：一般地，如果對於函式f（x）的定義域內任意乙個x，都有f（-x）=f（x），則稱函式f（x）為偶函式。
奇函式：一般地，如果對於函式f（x）的定義域內任意乙個x，都有f（-x）＝-f（x），那麼函式f（x）是奇函式。
2．若；；；則週期是2
例1、已知定義在r上的奇函式f(x)滿足f(x+2)=－f(x),則,f(6)的值為
(a)－1b) 0c) 1d)2
由於f(x)為奇函式,故f(-x)=-f(x),所以f(-0)=-f(0)得出f(0)=0.又f(x+2)=-f(x)故f(6)=f(4+2)=-f(4)=-(-f(2))=f(2)=f(0+2)=-f(0)=0答案:f(6)=0
例2、________
例5、設是定義在r上的奇函式，且對任意實數x恆滿足，
當時.⑴求證：是週期函式；⑵當時，求的解析式.
（1）f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4))=f(x+4),所以f(x)是以4為週期的週期函式。
（2）根據奇函式性質f(x)=-f(-x),可知x∈[-2,0]時，f(x)=-f(-x)=-(-2x-x)=2x+x, 而f(x)是以4為週期的週期函式，當x∈[2,4]時，f(x)=f(x-4)=2(x-4)+(x-4)=x-6x+8
f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4))?
根據f(x+2)=-f(x)這條件...於是f(x+4)=-f(x+2)，這個就是把x+2作為乙個整體看作條件中的x，帶進去就是了
七．二次函式(涉及二次函式問題必畫圖分析)
1．二次函式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是一條拋物線，對稱軸，頂點座標
2．二次函式與一元二次方程關係
一元二次方程的根為二次函式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值.
一元二次不等式的解集(a>0)
例1、已知函式在區間上是增函式，則的範圍是（ ）
（a） (b) (c) (d)
例2、方程有一根大於1，另一根小於1，則實根m的取值範圍是
二次函式解決。
設y=x^2+2mx+1，拋物線開口向上，
與x軸交點在1的左右兩邊，
∴在保證有交點的情況下(δ>0)，
x=1時，y<0。
∴δ=4m^-4>0，得m>1或m<-1，
當x=1時，y=2+2m<0，得m<-1，
綜合得：m<-1。
九．指數函式與對數函式
1.指數函式y=ax與對數函式y=logax (a>0 , a≠1)互為反函式
2. 比較兩個冪值的大小，是一類易錯題，解決這類問題，首先要分清底數相同還是指數相同
1、 ，如果底數相同，可利用指數函式的單調性；指數相同，可以利用指數函式的底數與圖象關係（對數式比較大小同理）
記住下列特殊值為底數的函式圖象：
3.研究指數，對數函式問題，盡量化為同底，並注意對數問題中的定義域限制
4.指數函式與對數函式中的絕大部分問題是指數函式與對數函式與其他函式的復合問題，討論復合函式的單調性是解決問題的重要途徑.
例1、（1）的定義域為
解答：令 lgx ≥ 0， ∴ x ≥ 1
令 x > 0
令 5 - 3x > 0, ∴ x < 5/3
∴定義域為 1 ≤ x < 5/3
（2）的值域為
可以設t=1/(x-3)，則t的範圍就是t≠0
所以函式的值域為y>0且y≠20
即值域為(0,1）∪（1，+∞)
（3）的遞增區間為，值域為.
-x^2+x>0 0y=lg(-x+x)的遞增區間—(1/2,1)—值域為—(-無窮，-lg4]—
十．函式的圖象變換
1、平移變換：（左+ 右- ，上+ 下- ）即
1、 對稱變換：（對稱誰，誰不變，對稱原點都要變）
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