《圓》章節知識點複習
一、圓的概念
集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合；
2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合；
3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合
軌跡形式的概念：
1、圓：到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；
（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；
3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；
4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行於這條直線且到這條直線的距離等於定長的兩條直線；
5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行於這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。
二、點與圓的位置關係
1、點在圓內點在圓內；
2、點在圓上點在圓上；
3、點在圓外點在圓外；
三、直線與圓的位置關係
1、直線與圓相離無交點；2、直線與圓相切有乙個交點；
3、直線與圓相交有兩個交點；
四、圓與圓的位置關係
外離（圖1）無交點 ；外切（圖2）有乙個交點；
相交（圖3）有兩個交點；內切（圖4）有乙個交點；
內含（圖5） 無交點 ；
五、垂徑定理
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。
推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：
①是直徑 ② ③ ④ 弧弧⑤ 弧弧
中任意2個條件推出其他3個結論。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧六、圓心角定理
圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，
只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圓周角定理
1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。
即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角
∴2、圓周角定理的推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角
∴推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。
即：在⊙中，∵是直徑或∵
是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
是直角三角形或
注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半的逆定理。
八、圓內接四邊形
圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等於它的內對角。
即：在⊙中，
四邊形是內接四邊形
∴九、切線的性質與判定定理
（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線；
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
即：∵且過半徑外端
是⊙的切線
（2）性質定理：切線垂直於過切點的半徑（如上圖）
推論1：過圓心垂直於切線的直線必過切點。
推論2：過切點垂直於切線的直線必過圓心。
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最後乙個。
十、切線長定理
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即：∵、是的兩條切線
∴平分十
一、圓冪定理
（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。
即：在⊙中，∵弦、相交於點，
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
即：在⊙中，∵直徑，∴
（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
即：在⊙中，∵是切線，是割線
（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。
即：在⊙中，∵、是割線
十二、兩圓公共弦定理
圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直並且平分這兩個圓的的公共弦。
如圖：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交於、兩點
垂直平分
十三、圓的公切線
兩圓公切線長的計算公式：
（1）公切線長：中，；
（2）外公切線長：是半徑之差；內公切線長：是半徑之和 。
十四、圓內正多邊形的計算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有關計算在中進行：；
（2）正四邊形
同理，四邊形的有關計算在中進行，：
（3）正六邊形
同理，六邊形的有關計算在中進行，.
十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式
1、扇形：（1）弧長公式：；
（2）扇形面積公式：
：圓心角 ：扇形多對應的圓的半徑 ：扇形弧長：扇形面積
2、圓柱：
（1）圓柱側面展開圖
=（2）圓柱的體積：
（2）圓錐側面展開圖
（1）=
（2）圓錐的體積：
典型例題
例1．兩個同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示（點o，o′是圓心），分隔兩個肥皂泡的肥皂膜pq成一條直線，tp、np分別為兩圓的切線，求∠tpn的大小．
例2．如圖，ab為⊙o直徑，e是中點，oe交bc於點d，bd=3，ab=10，則ac=_____．
例3．如圖，⊙o的直徑為10，圓心o到弦ab的距離om的長為3，則弦ab的長是（）
例4．如圖，在⊙o中，ab、cd是兩條弦，oe⊥ab，of⊥cd，垂足分別為ef．
（1）如果∠aob=∠cod，那麼oe與of的大小有什麼關係？為什麼？
（2）如果oe=of，那麼與的大小有什麼關係？ab與cd的大小有什麼關係？為什麼？∠aob與∠cod呢？
例5．如圖3和圖4，mn是⊙o的直徑，弦ab、cd相交於mn上的一點p，∠apm=∠cpm．
（1）由以上條件，你認為ab和cd大小關係是什麼，請說明理由．
（2）若交點p在⊙o的外部，上述結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由．
例6如圖，點o是△abc的內切圓的圓心，若∠bac=80°，則∠boc=（）
a．130° b．100° c．50° d．65°
例7．如圖，ab為⊙o的直徑，c是⊙o上一點，d在ab的延長線上，且∠dcb=∠a．
（1）cd與⊙o相切嗎？如果相切，請你加以證明，如果不相切，請說明理由．
（2）若cd與⊙o相切，且∠d=30°，bd=10，求⊙o的半徑．
例8．如圖所示，點a座標為（0，3），oa半徑為1，點b在x軸上．
（1）若點b座標為（4，0），⊙b半徑為3，試判斷⊙a與⊙b位置關係；
（2）若⊙b過m（－2，0）且與⊙a相切，求b點座標．
例9．如圖，已知正六邊形abcdef，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積．
例10．在直徑為ab的半圓內，劃出一塊三角形區域，如圖所示，使三角形的一邊為ab，頂點c在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現要建造乙個內接於△abc的矩形水池defn，其中d、e在ab上，如圖24－94的設計方案是使ac=8，bc=6．
（1）求△abc的邊ab上的高h．（2）設dn=x，且，當x取何值時，水池defn的面積最大？（3）實際施工時，發現在ab上距b點1．85的m處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位於最大矩形水池的邊上？
如果在，為了保護大樹，請設計出另外的方案，使內接於滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹．
例11．操作與證明：如圖所示，o是邊長為a的正方形abcd的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在o處，並將紙板繞o點旋轉，求證：正方形abcd的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a．
例12．已知扇形的圓心角為120°，面積為300cm2．
（1）求扇形的弧長；（2）若將此扇形卷成乙個圓錐，則這個圓錐的軸截面面積為多少？
例13、如圖，ab是⊙o的直徑，bc是弦，od⊥bc於e，交於d．
(1)請寫出五個不同型別的正確結論； (2)若bc=8，ed＝2，求⊙o的半徑．
例14.已知：如圖等邊內接於⊙o，點是劣弧pc上的一點（端點除外），延長至，使，鏈結．
（1）若過圓心，如圖①，請你判斷是什麼三角形？並說明理由．
（2）若不過圓心，如圖②，又是什麼三角形？為什麼？
解題思路：（1）為等邊三角形．
例15.如圖，四邊形內接於⊙o，是⊙o的直徑，，垂足為，平分．
（1）求證：是⊙o的切線；
（2）若，求的長．
例16、如圖，已知在⊙o中，ab=，ac是⊙o的直徑，ac⊥bd於f，∠a=30°.
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