一、標準方程
1.求標準方程的方法——關鍵是求出圓心和半徑
①待定係數：往往已知圓上三點座標，例如教材例2
②利用平面幾何性質
往往涉及到直線與圓的位置關係，特別是：相切和相交
相切：利用到圓心與切點的連線垂直直線
相交：利用到點到直線的距離公式及垂徑定理
2.特殊位置的圓的標準方程設法（無需記，關鍵能理解）
條件方程形式
圓心在原點
過原點圓心在軸上
圓心在軸上
圓心在軸上且過原點
圓心在軸上且過原點
與軸相切
與軸相切
與兩座標軸都相切
二、一般方程
1.表示圓方程則
2.求圓的一般方程一般可採用待定係數法：如教材例4
3.常可用來求有關引數的範圍
三、點與圓的位置關係
1.判斷方法：點到圓心的距離與半徑的大小關係
點在圓內；點在圓上；點在圓外
2.涉及最值：
（1）圓外一點，圓上一動點，討論的最值
（2）圓內一點，圓上一動點，討論的最值
思考：過此點作最短的弦？（此弦垂直）
四、直線與圓的位置關係
1.判斷方法（為圓心到直線的距離）
（1）相離沒有公共點
（2）相切只有乙個公共點
（3）相交有兩個公共點
這一知識點可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關引數的範圍.
2.直線與圓相切
（1）知識要點
①基本圖形
②主要元素：切點座標、切線方程、切線長等
問題：直線與圓相切意味著什麼？
圓心到直線的距離恰好等於半徑
（2）常見題型——求過定點的切線方程
①切線條數
點在圓外——兩條；點在圓上——一條；點在圓內——無
②求切線方程的方法及注意點
）點在圓外
如定點，圓：，
第一步：設切線方程
第二步：通過，從而得到切線方程
特別注意：以上解題步驟僅對存在有效，當不存在時，應補上——千萬不要漏了！
如：過點作圓的切線，求切線方程.
答案：和
）點在圓上
1） 若點在圓上，則切線方程為
會在選擇題及填空題中運用，但一定要看清題目.
2） 若點在圓上，則切線方程為
碰到一般方程則可先將一般方程標準化，然後運用上述結果.
由上述分析，我們知道：過一定點求某圓的切線方程，非常重要的第一步就是——判斷點與圓的位置關係，得出切線的條數.
③求切線長：利用基本圖形，
求切點座標：利用兩個關係列出兩個方程
3.直線與圓相交
（1）求弦長及弦長的應用問題
垂徑定理及勾股定理——常用
弦長公式：（暫作了解，無需掌握）
（2）判斷直線與圓相交的一種特殊方法（一種巧合）：直線過定點，而定點恰好在圓內.
（3）關於點的個數問題
例：若圓上有且僅有兩個點到直線的距離為1，則半徑的取值範圍是答案：
4.直線與圓相離
會對直線與圓相離作出判斷（特別是涉及一些引數時）
五、對稱問題
1.若圓，關於直線，則實數的值為____.
答案：3（注意：時，，故捨去）
變式：已知點是圓:上任意一點，點關於直線的對稱點在圓上，則實數
2.圓關於直線對稱的曲線方程是
變式：已知圓：與圓：關於直線對稱，則直線的方程為
3.圓關於點對稱的曲線方程是
4.已知直線：與圓：，問：是否存在實數使自發出的光線被直線反射後與圓相切於點？若存在，求出的值；若不存在，試說明理由.
六、最值問題
方法主要有三種：（1）數形結合；（2）代換；（3）引數方程
1.已知實數，滿足方程，求：
（1）的最大值和最小值；——看作斜率
（2）的最小值；——截距（線性規劃）
（3）的最大值和最小值.——兩點間的距離的平方
2.已知中，，，，點是內切圓上一點，求以，，為直徑的三個圓面積之和的最大值和最小值.
數形結合和引數方程兩種方法均可！
3.設為圓上的任一點，欲使不等式恆成立，則的取值範圍是答案：（數形結合和引數方程兩種方法均可！）
七、圓的引數方程
，為引數
，為引數
八、相關應用
1.若直線（，），始終平分圓的周長，則的取值範圍是
2.已知圓：，問：是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的弦為，以為直徑的圓經過原點，若存在，寫出直線的方程，若不存在，說明理由.
提示：或弦長公式. 答案：或
3.已知圓：，點，，設點是圓上的動點，，求的最值及對應的點座標.
4.已知圓：，直線：（）
（1）證明：不論取什麼值，直線與圓均有兩個交點；
（2）求其中弦長最短的直線方程.
5.若直線與曲線恰有乙個公共點，則的取值範圍.
6.已知圓與直線交於，兩點，為座標原點，問：是否存在實數，使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
九、圓與圓的位置關係
1.判斷方法：幾何法（為圓心距）
（1）外離2）外切
（3）相交 （4）內切
（5）內含
2.兩圓公共弦所在直線方程
圓：，圓：，
則為兩相交圓公共弦方程.
補充說明：
若與相切，則表示其中一條公切線方程；
若與相離，則表示連心線的中垂線方程.
3圓系問題
（1）過兩圓：和：交點的圓系方程為（）
說明：1）上述圓系不包括；2）當時，表示過兩圓交點的直線方程（公共弦）
（2）過直線與圓交點的圓系方程為
（3）有關圓系的簡單應用
（4）兩圓公切線的條數問題
相內切時，有一條公切線；相外切時，有三條公切線；相交時，有兩條公切線；相離時，有四條公切線
十、軌跡方程
（1）定義法（圓的定義）：略
（2）直接法：通過已知條件直接得出某種等量關係，利用這種等量關係，建立起動點座標的關係式——軌跡方程.
例：過圓外一點作圓的割線，求割線被圓截得的弦的中點的軌跡方程.
分析：（3）相關點法（平移轉換法）：一點隨另一點的變動而變動
動點主動點
特點為：主動點一定在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運動.
例1.如圖，已知定點，點是圓上的動點，的平分線交於，當點在圓上移動時，求動點的軌跡方程.
分析：角平分線定理和定比分點公式.
例2.已知圓：，點，、是圓上的兩個動點，、、呈逆時針方向排列，且，求的重心的軌跡方程.
法1：，為定長且等於
設，則取的中點為，
， （1）
， 故由（1）得：
法2：（引數法）
設，由，則
設，則，由得：
引數法的本質是將動點座標中的和都用第三個變數（即引數）表示，通過消參得到動點軌跡方程，通過引數的範圍得出，的範圍.
（4）求軌跡方程常用到得知識
重心，中點，
內角平分線定理：
定比分點公式：，則，
韋達定理.
高一數學必修二《圓與方程》知識點整理
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