好方法教育第二講圓與方程
圓與方程
了解確定圓的幾何要素（圓心和半徑、不在同一直線上的三個點等）.
掌握圓的標準方程與一般方程，能根據問題的條件選擇恰當的形式求圓的方程；理解圓的標準方程與一般方程之間的關係，會進行互化.
能根據直線與圓的方程判斷其位置關係（相交、相切、相離）；能根據圓的方程判斷圓與圓的位置關係（外離、外切、相交、內切、內含）.
能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.
用代數方法處理幾何問題的思想
體會用代數方法處理幾何問題的思想，感受「形」與「數」的對立和統一；初步掌握數形結合的思想方法在研究數學問題中的應用.
二、重難點：圓的標準方程和一般方程
三、高考內容及要求：
四、知識點：
1、圓的方程：
⑴標準方程：
⑵一般方程：.
2、兩圓位置關係：
⑴外離：；
⑵外切：；
⑶相交：；
⑷內切：；
⑸內含：.
五、問題導學：
問題導學一：我們在解決直線和圓相切時應注意哪些要點？
例1、基礎訓練：求以為圓心，並且與直線相切的圓的方程.
**1：過座標原點且與圓相切的直線的方程為
解：設直線方程為，即.∵圓方程可化為，∴圓心為（2，-1），半徑為.依題意有，解得或，∴直線方程為或.
**2：已知直線與圓相切，則的值為 .
解：∵圓的圓心為（1，0），半徑為1，∴，解得或.
練習鞏固：求經過點，且與直線和都相切的圓的方程.
解：設所求圓的方程為，則，
解得或，∴圓的方程為或.
問題導學二：直線被圓所截弦長的處理策略是什麼?關鍵是借助圓的什麼性質？
例2、基礎訓練：求直線被圓截得的弦的長.
**1：直線截圓得的劣弧所對的圓心角為
解：依題意得，弦心距，故弦長，從而△oab是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為.
**2：設直線與圓相交於、兩點，且弦的長為，則 .
解：由弦心距、半弦長、半徑構成直角三角形，得，解得.
練習鞏固：已知圓，直線.
（1）求證：不論取什麼實數，直線與圓恒交於兩點；
（2）求直線被圓截得的弦長最小時的方程.
解：（1）∵直線恆過定點，且，∴點在圓內，∴直線與圓恒交於兩點.
（2）由平面幾何性質可知，當過圓內的定點的直線垂直於時，直線被圓截得的弦長最小，此時，∴所求直線的方程為即.
問題導學三：如何判斷直線與圓的位置關係？
例3、基礎訓練：已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關係.
**1：直線與圓沒有公共點，則的取值範圍是
解：依題意有，解得.∵，∴.
**2：若直線與圓有兩個不同的交點，則的取值範圍是
解：依題意有，解得，∴的取值範圍是.
練習鞏固：若直線與曲線有且只有乙個公共點，求實數的取值範圍.
解：∵曲線表示半圓，∴利用數形結合法，可得實數的取值範圍是或.
問題導學四：圓與圓位置關係如何確定？
例4、基礎訓練：判斷圓與圓的位置關係，並畫出圖形.
**1：圓和圓的位置關係是
解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，∴.∵，∴兩圓相交.
**2：若圓與圓相切，則實數的取值集合是
解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴實數的取值集合是.
練習鞏固：求與圓外切於點，且半徑為的圓的方程.
解：設所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.∵兩圓外切於點，∴，∴，∴，∴所求圓的方程為.
問題導學五：和圓相關的最值有哪些解決途徑，體現那些思想方法？
例5、基礎訓練：已知點，點在圓上運動，求的最大值和最小值.
**1：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是
解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是.
**2：已知，，點在圓上運動，則的最小值是 .
解：設，則.設圓心為，則，∴的最小值為.
練習鞏固：已知點在圓上運動.
（1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.
解：（1）設，則表示點與點（2，1）連線的斜率.當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為.
（2）設，則表示直線在軸上的截距. 當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為.
問題導學六：如何利用已知條件挖掘求圓的方程的重要資訊？
例6、基礎訓練：已知點與兩個定點，的距離的比為，求點的軌跡方程.
**1：已知兩定點，，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的面積等於
解：設點的座標是.由，得，化簡得，∴點的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，∴所求面積為.
**2：由動點向圓引兩條切線、，切點分別為、， =600，則動點的軌跡方程是
解：設.∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化簡得，∴動點的軌跡方程是.
練習鞏固：設為兩定點，動點到點的距離與到點的距離的比為定值，求點的軌跡.
解：設動點的座標為.由，得，
化簡得.
當時，化簡得，整理得；
當時，化簡得.
所以當時，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；
當時，點的軌跡是軸.
高一數學圓與方程提高訓練
數學2必修 第四章圓與方程 提高訓練c組 一 選擇題 1 圓 和圓 交於兩點，則的垂直平分線的方程是 a.b c d 2 方程表示的曲線是 a 乙個圓 b 兩個半圓 c 兩個圓 d 半圓 3 已知圓 及直線，當直線被截得的弦長為時，則 a b c d 4 圓的圓心到直線的距離是 a b c d 5 ...
高一數學圓的方程經典例題
典型例題一 例1 圓上到直線的距離為1的點有幾個？分析 借助圖形直觀求解 或先求出直線 的方程，從代數計算中尋找解答 解法一 圓的圓心為，半徑 設圓心到直線的距離為，則 如圖，在圓心同側，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意 又 與直線平行的圓的切線的兩個切點中有乙個切點也符...
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典型例題一 例1 圓上到直線的距離為1的點有幾個？分析 借助圖形直觀求解 或先求出直線 的方程，從代數計算中尋找解答 解法一 圓的圓心為，半徑 設圓心到直線的距離為，則 如圖，在圓心同側，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意 又 與直線平行的圓的切線的兩個切點中有乙個切點也符...