典型例題一
例1 圓上到直線的距離為1的點有幾個？
分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數計算中尋找解答．
解法一：圓的圓心為，半徑．
設圓心到直線的距離為，則．
如圖，在圓心同側，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意．
又．∴與直線平行的圓的切線的兩個切點中有乙個切點也符合題意．
∴符合題意的點共有3個．
解法二：符合題意的點是平行於直線，且與之距離為1的直線和圓的交點．
設所求直線為，則，
∴，即，或，也即
，或．設圓的圓心到直線、的距離為、，則
，．∴與相切，與圓有乙個公共點；與圓相交，與圓有兩個公共點．即符合題意的點共3個．
說明：對於本題，若不留心，則易發生以下誤解：
設圓心到直線的距離為，則．
∴圓到距離為1的點有兩個．
顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1．
到一條直線的距離等於定值的點，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點．求直線與圓的公共點個數，一般根據圓與直線的位置關係來判斷，即根據圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷．
典型例題三
例3 求過兩點、且圓心在直線上的圓的標準方程並判斷點與圓的關係．
分析：欲求圓的標準方程，需求出圓心座標的圓的半徑的大小，而要判斷點與圓的位置關係，只須看點與圓心的距離和圓的半徑的大小關係，若距離大於半徑，則點在圓外；若距離等於半徑，則點在圓上；若距離小於半徑，則點在圓內．
解法一：（待定係數法）
設圓的標準方程為．
∵圓心在上，故．
∴圓的方程為．
又∵該圓過、兩點．
∴解之得：，．
所以所求圓的方程為．
解法二：（直接求出圓心座標和半徑）
因為圓過、兩點，所以圓心必**段的垂直平分線上，又因為，故的斜率為1，又的中點為，故的垂直平分線的方程為：即．
又知圓心在直線上，故圓心座標為
∴半徑．
故所求圓的方程為．
又點到圓心的距離為
．∴點在圓外．
說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關鍵的量，然後根據圓心與定點之間的距離和半徑的大小關係來判定點與圓的位置關係，若將點換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關係呢？
典型例題四
例4 圓上到直線的距離為的點共有（ ）．
（a）1個 （b）2個 （c）3個 （d）4個
分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個點到直線的距離等於，所以選c．
典型例題五
例5 過點作直線，當斜率為何值時，直線與圓有公共點，如圖所示．
分析：觀察動畫演示，分析思路．
解：設直線的方程為
即根據有
整理得解得
．典型例題六
例6 已知圓，求過點與圓相切的切線．
解：∵點不在圓上，
∴切線的直線方程可設為
根據解得所以即
因為過圓外一點作圓得切線應該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為．
說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉的解．
本題還有其他解法，例如把所設的切線方程代入圓方程，用判別式等於0解決（也要注意漏解）．還可以運用，求出切點座標、的值來解決，此時沒有漏解．
典型例題七
例7 自點發出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切
（1）求光線和反射光線所在的直線方程．
（2）光線自到切點所經過的路程．
分析、略解：觀察動畫演示，分析思路．根據對稱關係，首先求出點的對稱點的座標為，其次設過的圓的切線方程為
根據，即求出圓的切線的斜率為
或進一步求出反射光線所在的直線的方程為
或最後根據入射光與反射光關於軸對稱，求出入射光所在直線方程為
或光路的距離為，可由勾股定理求得．
說明：本題亦可把圓對稱到軸下方，再求解．
典型例題八
例8 如圖所示，已知圓與軸的正方向交於點，點在直線上運動，過做圓的切線，切點為，求垂心的軌跡．
分析：按常規求軌跡的方法，設，找的關係非常難．由於點隨，點運動而運動，可考慮，，三點座標之間的關係．
解：設，，鏈結，，
則，，是切線，
所以，，，
所以四邊形是菱形．
所以，得
又滿足，
所以即是所求軌跡方程．
說明：題目巧妙運用了三角形垂心的性質及菱形的相關知識．採取代入法求軌跡方程．做題時應注意分析圖形的幾何性質，求軌跡時應注意分析與動點相關聯的點，如相關聯點軌跡方程已知，可考慮代入法．
典型例題九
例9 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程．
分析：根據問題的特徵，宜用圓的標準方程求解．
解：則題意，設所求圓的方程為圓．
圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的座標為或．
又已知圓的圓心的座標為，半徑為3．
若兩圓相切，則或．
(1)當時，，或(無解)，故可得．
∴所求圓方程為，或．
(2)當時，，或(無解)，故．
∴所求圓的方程為，或．
說明：對本題，易發生以下誤解：
由題意，所求圓與直線相切且半徑為4，則圓心座標為，且方程形如．又圓，即，其圓心為，半徑為3．若兩圓相切，則．故，解之得．所以欲求圓的方程為，或．
上述誤解只考慮了圓心在直線上方的情形，而疏漏了圓心在直線下方的情形．另外，誤解中沒有考慮兩圓內切的情況．也是不全面的．
典型例題十
例10 已知圓與直線相交於、兩點，為原點，且，求實數的值．
分析：設、兩點的座標為、，則由，可得，再利用一元二次方程根與係數的關係求解．或因為通過原點的直線的斜率為，由直線與圓的方程構造以為未知數的一元二次方程，由根與係數關係得出的值，從而使問題得以解決．
解法一：設點、的座標為、．一方面，由，得
，即，也即：． ①
另一方面，、是方程組的實數解，即、是方程 ②
的兩個根．
∴，． ③
又、在直線上，
∴．將③代入，得． ④
將③、④代入①，解得，代入方程②，檢驗成立，
∴．解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有
，整理，得．
由於，故可得
．∴，是上述方程兩根．故．得
，解得．
經檢驗可知為所求．
說明：求解本題時，應避免去求、兩點的座標的具體數值．除此之外，還應對求出的值進行必要的檢驗，這是因為在求解過程中並沒有確保有交點、存在．
解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關鍵在於依據直線方程構造出乙個關於的二次齊次方程，雖有規律可循，但需一定的變形技巧，同時也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感．
典型例題十一
例11 求經過點，且與直線和都相切的圓的方程．
分析：欲確定圓的方程．需確定圓心座標與半徑，由於所求圓過定點，故只需確定圓心座標．又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上．
解：∵圓和直線與相切，
∴圓心在這兩條直線的交角平分線上，
又圓心到兩直線和的距離相等．
∴．∴兩直線交角的平分線方程是或．
又∵圓過點，
∴圓心只能在直線上．
設圓心∵到直線的距離等於，
∴．化簡整理得．
解得：或
∴圓心是，半徑為或圓心是，半徑為．
∴所求圓的方程為或．
說明：本題解決的關鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心座標得到圓的方程，這是過定點且與兩已知直線相切的圓的方程的常規求法．
典型例題十二
例12 設圓滿足：(1)截軸所得弦長為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程．
分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心座標和半徑，便可求得圓的標準方程．滿足兩個條件的圓有無數個，其圓心的集合可看作動點的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心座標，進而確定圓的半徑，求出圓的方程．
解法一：設圓心為，半徑為．
則到軸、軸的距離分別為和．
由題設知：圓截軸所得劣弧所對的圓心角為，故圓截軸所得弦長為．
∴又圓截軸所得弦長為2．
∴．又∵到直線的距離為
∴當且僅當時取「=」號，此時．
這時有∴或
又故所求圓的方程為或
解法二：同解法一，得．∴．
∴．將代入上式得：
．上述方程有實根，故，∴．
將代入方程得．
又 ∴．
由知、同號．
故所求圓的方程為或．
說明：本題是求點到直線距離最小時的圓的方程，若變換為求面積最小呢？
典型例題十三
例13 兩圓與相交於、兩點，求它們的公共弦所在直線的方程．
分析：首先求、兩點的座標，再用兩點式求直線的方程，但是求兩圓交點座標的過程太繁．為了避免求交點，可以採用「設而不求」的技巧．
解：設兩圓、的任一交點座標為，則有：
①②①－②得：．
∵、的座標滿足方程．
∴方程是過、兩點的直線方程．
又過、兩點的直線是唯一的．
∴兩圓、的公共弦所在直線的方程為．
說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點的座標，雖然設出了它們的座標，但並沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達到了目標．從解題的角度上說，這是一種「設而不求」的技巧，從知識內容的角度上說，還體現了對曲線與方程的關係的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質認識．它的應用很廣泛．
典型例題十四
例14 已知對於圓上任意一點，不等式恆成立，求實數的取值範圍．
解：運用圓的引數方程，設的座標為，
即，，∵恆成立
∴恆成立
即恆成立
∴只需大於等於的最大值．
令的最大值為
∴說明：在上述解法中我們運用了圓上點的引數設法．採用這種設法的優點在於，一方面可以減少引數的個數，另一方面可以靈活地運用三角公式．從代數的觀點看，這種設法的實質就是三角代換．
另外本題也可以不用圓的引數方程求解，本題的實質就是求最值問題，方法較多．但以上述解法較簡．
典型例題十五
例15 試求圓(為引數)上的點到點距離的最大(小)值．
分析：利用兩點間距離公式求解或數形結合求解．
解法一：設是圓上任一點，則．所以
．因為，所以，因此
當時，．
當時，．
解法二：將圓代入普通方程得．
如圖所示可得，、分別是圓上的點到的距離的最小值和最大值．易知：，．
說明：(1)在圓的引數方程(為引數)中，為圓心，為半徑，引數的幾何意義是：圓的半徑從軸正向繞圓心按逆時針方向旋轉到所得圓心角的大小．若原點為圓心，常常用來表示半徑為的圓上的任一點．
高一數學圓的方程經典例題
典型例題一 例1 圓上到直線的距離為1的點有幾個？分析 借助圖形直觀求解 或先求出直線 的方程，從代數計算中尋找解答 解法一 圓的圓心為，半徑 設圓心到直線的距離為，則 如圖，在圓心同側，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意 又 與直線平行的圓的切線的兩個切點中有乙個切點也符...
高一數學圓與方程
好方法教育第二講圓與方程 圓與方程 了解確定圓的幾何要素 圓心和半徑 不在同一直線上的三個點等 掌握圓的標準方程與一般方程，能根據問題的條件選擇恰當的形式求圓的方程 理解圓的標準方程與一般方程之間的關係，會進行互化.能根據直線與圓的方程判斷其位置關係 相交 相切 相離 能根據圓的方程判斷圓與圓的位置...
高一數學正態分佈經典例題
借助於標準正態分佈表求值 例設服從，求下列各式的值 1 2 3 分析 因為用從標準正態分佈，所以可以借助於標準正態分佈表，查出其值 但由於表中只列出的情形，故需要轉化成小於非負值的概率，公式 和有其用武之地 解 1 2 3 說明 要製表提供查閱是為了方便得出結果，但標準正態分佈表如此簡練的目的，並沒...