第一篇、復合函式問題
一、復合函式定義： 設y=f(u)的定義域為a，u=g(x)的值域為b，若a b，則y關於x函式的y=f［g(x)］叫做函式f與g的復合函式，u叫中間量.
二、復合函式定義域問題：
（一）例題剖析：
(1)、已知的定義域，求的定義域
思路：設函式的定義域為d，即，所以的作用範圍為d，又f對作用，作用範圍不變，所以，解得，e為的定義域。
例1. 設函式的定義域為（0，1），則函式的定義域為
解析：函式的定義域為（0，1）即，所以的作用範圍為（0，1）
又f對lnx作用，作用範圍不變，所以
解得，故函式的定義域為（1，e）
例2. 若函式，則函式的定義域為
解析：先求f的作用範圍，由，知
即f的作用範圍為，又f對f(x)作用
所以，即中x應滿足
即，解得
故函式的定義域為
（2）、已知的定義域，求的定義域
思路：設的定義域為d，即，由此得，所以f的作用範圍為e，又f對x作用，作用範圍不變，所以為的定義域。
例3. 已知的定義域為，則函式的定義域為
解析：的定義域為，即，由此得
所以f的作用範圍為，又f對x作用，作用範圍不變，所以
即函式的定義域為
例4. 已知，則函式的定義域為
解析：先求f的作用範圍，由，知
解得，f的作用範圍為，又f對x作用，作用範圍不變，所以，即的定義域為
（3）、已知的定義域，求的定義域
思路：設的定義域為d，即，由此得，的作用範圍為e，又f對作用，作用範圍不變，所以，解得，f為的定義域。
例5. 若函式的定義域為，則的定義域為
解析：的定義域為，即，由此得
的作用範圍為
又f對作用，所以，解得
即的定義域為
評注：函式定義域是自變數x的取值範圍（用集合或區間表示）f對誰作用，則誰的範圍是f的作用範圍，f的作用物件可以變，但f的作用範圍不會變。利用這種理念求此類定義域問題會有「得來全不費功夫」的感覺，值得大家**。
三、復合函式單調性問題
（1）引理證明
已知函式.若在區間）上是減函式，其值域為(c，d)，又函式在區間(c,d)上是減函式，那麼，原復合函式在區間）上是增函式.
證明：在區間）內任取兩個數，使
因為在區間）上是減函式，所以,記,即
因為函式在區間(c,d)上是減函式，所以,即，
故函式在區間）上是增函式.
（2）．復合函式單調性的判斷
復合函式的單調性是由兩個函式共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結成乙個圖表：
以上規律還可總結為：「同向得增，異向得減」或「同增異減」.
（3）、復合函式的單調性判斷步驟：
ⅰ 確定函式的定義域；
ⅱ 將復合函式分解成兩個簡單函式：與。
ⅲ 分別確定分解成的兩個函式的單調性；
ⅳ 若兩個函式在對應的區間上的單調性相同（即都是增函式，或都是減函式），則復合後的函式為增函式； 若兩個函式在對應的區間上的單調性相異（即乙個是增函式，而另乙個是減函式），則復合後的函式為減函式。
（4）例題演練
例1、 求函式的單調區間，並用單調定義給予證明
解：定義域
單調減區間是設則
=∵ ∴
∴> 又底數
∴ 即
∴在上是減函式
同理可證：在上是增函式
高一數學函式的知識點和例題
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