1、利用導數研究函式的單調性極值和最值，再由單調性來證明不等式是函式、導數、不等式綜合中的乙個難點，也是近幾年高考的熱點。
2、解題技巧是構造輔助函式，把不等式的證明轉化為利用導數研究函式的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特徵構造乙個可導函式是用導數證明不等式的關鍵。
以下介紹建構函式法證明不等式的八種方法：
一、移項法建構函式
【例1】 已知函式，求證：當時，恒有
分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函式證明，左邊建構函式
，從其導數入手即可證明。
【解】∴當時，，即在上為增函式
當時，，即在上為減函式
故函式的單調遞增區間為，單調遞減區間
於是函式在上的最大值為，因此，當時，，即∴（右面得證），
現證左面，令，
當，即在上為減函式，在上為增函式，
故函式在上的最小值為，
∴當時，，即
∴，綜上可知，當
【警示啟迪】如果是函式在區間上的最大（小）值，則有（或），那麼要證不等式，只要求函式的最大值不超過就可得證．
2、作差法建構函式證明
【例2】已知函式求證：在區間上，函式的圖象在函式的圖象的下方；
分析：函式的圖象在函式的圖象的下方問題，
即，只需證明在區間上，恒有成立，設，，考慮到
要證不等式轉化變為：當時，，這只要證明：在區間是增函式即可。
【解】設，即，
則=當時， =
從而在上為增函式，∴
∴當時，即，
故在區間上，函式的圖象在函式的圖象的下方。
【警示啟迪】本題首先根據題意構造出乙個函式（可以移項，使右邊為零，將移項後的左式設為函式），並利用導數判斷所設函式的單調性，再根據函式單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設做一做，深刻體會其中的思想方法。
3、換元法建構函式證明
【例3】 證明：對任意的正整數n，不等式都成立.
分析： 從所證結構出發，只需令，則問題轉化為：當時，恒有成立，現建構函式，求導即可達到證明。
【解】令，則在上恆正，
所以函式在上單調遞增，∴時，恒有
即，∴對任意正整數n，取
【警示啟迪】我們知道，當在上單調遞增，則時，有．如果＝，要證明當時， ，那麼，只要令＝－，就可以利用的單調增性來推導．也就是說，在可導的前提下，只要證明０即可．
4、從條件特徵入手建構函式證明
【例4】若函式y=在r上可導且滿足不等式x>－恆成立，且常數a，b滿足a>b，
求證：．a>b
【解】由已知 x+>0 ∴建構函式，
則x+>0， 從而在r上為增函式。
∴即 a>b
【警示啟迪】由條件移項後，容易想到是乙個積的導數，從而可以建構函式，求導即可完成證明。若題目中的條件改為，則移項後，要想到是乙個商的導數的分子，平時解題多注意總結。
5、主元法建構函式
例．（全國）已知函式
(1) 求函式的最大值；
(2) 設,證明 ：.
分析：對於（ii）絕大部分的學生都會望而生畏.學生的盲點也主要就在對所給函式用不上.
如果能挖掘一下所給函式與所證不等式間的聯絡，想一想大小關係又與函式的單調性密切相關，由此就可過渡到根據所要證的不等式構造恰當的函式，利用導數研究函式的單調性，借助單調性比較函式值的大小，以期達到證明不等式的目的.證明如下：
證明：對求導,則.
在中以b為主變元建構函式,
設,則.
當時，,因此在內為減函式.
當時, ,因此在上為增函式.
從而當時,有極小值.
因為所以,即
又設.則.
當時,.因此在上為減函式.
因為所以,即.
6、構造二階導數函式證明導數的單調性
例．已知函式
(1)若f(x)在r上為增函式,求a的取值範圍;
(2)若a=1,求證:x＞0時,f(x)>1+x
解：(1)f′(x)＝ aex－ｘ，
∵ｆ（ｘ）在ｒ上為增函式，∴f′(x)≥０對ｘ∈ｒ恆成立，
即ａ≥ｘｅ-ｘ對ｘ∈ｒ恆成立
記則1-x)e-x，
當ｘ＞１時，ｇ′（ｘ）＜０，當ｘ＜１時，ｇ′（ｘ）＞０．
知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上為增函式,在(1,+ ∞)上為減函式,
∴g(x)在x=1時,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e,
即a的取值範圍是[1/e, + ∞)
(2)記f(x)=f(x) －(1+x) =
則f′(x)=ex-1-x,
令h(x)= f′(x)=ex-1-x,則h′(x)=ex-1
當x>0時, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函式,
又h(x)在x=0處連續, ∴h(x)>h(0)=0
即f′(x)>0 ,∴f(x) 在(0,+ ∞)上為增函式,又f(x)在x=0處連續,
∴f(x)>f(0)=0,即f(x)>1+x．
小結：當函式取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恆成立，從而把不等式的恆成立問題可轉化為求函式最值問題．不等式恆成立問題，一般都會涉及到求引數範圍，往往把變數分離後可以轉化為(或)恆成立，於是大於的最大值（或小於的最小值），從而把不等式恆成立問題轉化為求函式的最值問題．因此，利用導數求函式最值是解決不等式恆成立問題的一種重要方法．
7.對數法建構函式（選用於冪指數函式不等式）
例：證明當
8.構造形似函式
例：證明當
例：已知m、n都是正整數，且證明：
【思維挑戰】
1、設求證：當時，恒有，
2、已知定義在正實數集上的函式
其中a>0，且，
求證：3、已知函式，求證：對任意的正數、，
恒有4、是定義在（0，+∞）上的非負可導函式，且滿足≤0，對任意正數a、b，若a < b，則必有
（a）af (b)≤bf (a) （b）bf (a)≤af (b)
（c）af (a)≤f (b) （d）bf (b)≤f (a)
【答案諮詢】
1、提示：，當，時，不難證明
∴，即在內單調遞增，故當時，
當時，恒有
2、提示：設則
當時，，
故在上為減函式，在上為增函式，於是函式在上的最小值是，故當時，有，即
3、提示：函式的定義域為，
∴當時，，即在上為減函式
當時，，即在上為增函式
因此在取得極小值，而且是最小值
於是，即
令於是因此
4、提示：，，故在（0，+∞）上是減函式，由有 af (b)≤bf (a) 故選（a）
1、由f(x)=ln(1+x)-x的導數為1/(x+1)-1=-x/(x+1)<0得知f(x)在(-1,∞)上單調減少.
2、所以bn=ln(1+n)-n,an=ln(n+1)-bn=n
一、√n<√(n+2)-c/√(n+2) 得 c
=1+(√(n+2)-√n)^2/2
由於隊所有n成立,而√(n+2)-√n可以任意小,且當c=1時,不等式依然成立,
所以c的範圍是(-∞,1]
二、分兩步證明,先用歸納法證明不等式(1) a1a3...a(2n-1)/[a2a4...a(2n)]<1/√(2n+1)
n=1時 a1/a2=1/2=1/√4<1/√3
設n=k時成立,即a1a3.a(2k-1)/[a2a4...a(2k)]<1/(√2k+1)
所以 a1a3...a(2k-1)a(2k+1)/[a2a4...a(2k)a(2k+2)]<(2k+1)/[√(2k+1)(2k+2)]
=√(2k+1)√(2k+3)/[(2k+2)√(2k+3)]
<(2k+1+2k+3)/[2(2k+2)√(2k+3)]
=1/√(2k+3)
所以當n=k+1時,不等式(1)成立.
所以對任意n>0不等式(1)成立.
第二步運用第一問的不等式(c=1)時,1/√(n+2)<√(n+2)-√n
得a1/a2+a1a3/[a2a4]+...+a1a3...a(2n-1)/[a2a4...a(2n)<√3-√1+√5-√3+...+√(2n+1)-√(2n-1)
=√(2n+1)-1=√[a(2n)+1]-1證畢.
建構函式證明不等式的八種方法
1 移項法建構函式 例 1 已知函式，求證 當時，但有 2 已知函式 1 若在r上為增函式，求a的取值範圍。2 若a 1，求證 時，2 作差法建構函式證明 例 1 已知函式，求證 在區間上，函式的圖象在函式的圖象下方。思想 抓住常規基本函式，利用函式草圖分析問題2 已知函式的圖象在點處的切線方程為y...
建構函式證明不等式
唐山電大遷安分校王建榮 函式思想是重要的數學思想,利用函式思想可以解決一類不等式的證明.一構造一次不等式 例1 已知 求證 證明 建構函式 其圖象為一條直線.即二構造二次函式 例2 已知都是正數,求證證明 在 0,1 上的值域為 所以,三構造分式函式 例3 已知都是正數,且.求證 證明 建構函式 設...
建構函式法證明不等式典型方法
1 利用導數研究函式的單調性極值和最值，再由單調性來證明不等式是函式 導數 不等式綜合中的乙個難點，也是近幾年高考的熱點。2 解題技巧是構造輔助函式，把不等式的證明轉化為利用導數研究函式的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特徵構造乙個可導函式是用導數證明不等式的關鍵。以下介紹建構...