關於不等式證明的常用方法
重難點歸納
(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述如果作差以後的式子可以整理為關於某乙個變數的二次式，則考慮用判別式法證
(2)綜合法是由因導果，而分析法是執果索因
2 不等式證明還有一些常用的方法換元法、放縮法、反證法、函式單調性法、判別式法、數形結合法等換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法凡是含有「至少」「惟一」或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法
典型題例
例1證明不等式(n∈n*)
知識依託本題是乙個與自然數n有關的命題，首先想到應用數學歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構造法等
例2求使≤a (x＞0，y＞0)恆成立的a的最小值
知識依託該題實質是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含於恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關性質把a呈現出來，等價轉化的思想是解決題目的突破口，然後再利用函式思想和重要不等式等求得最值
例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求證 (a+)(b+)≥
證法一 (分析綜合法） 證法二 (均值代換法) 證法三 (比較法） 證法四 (綜合法) 證法五 (三角代換法）
鞏固練習
1 已知x、y是正變數,a、b是正常數,且=1，x+y的最小值為 _
2 設正數a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關係是
3 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是
4 已知a，b，c為正實數，a+b+c=1 求證
(1)a2+b2+c2≥(2)≤6
5 已知x，y，z∈r，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，證明 x，y，z∈［0，］
6 證明下列不等式
(1)若x，y，z∈r，a，b，c∈r+，則z2≥2(xy+yz+zx)
(2)若x，y，z∈r+，且x+y+z=xyz，則≥2()
7 已知i，m、n是正整數，且1＜i≤m＜n
(1)證明 nia＜mia (2)證明 (1+m)n＞(1+n)m
8 若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求證 a+b≤2，ab≤1
不等式知識的綜合應用
典型題例
例1用一塊鋼錠燒鑄乙個厚度均勻，且表面積為2平方公尺的正四稜錐形有蓋容器(如右圖)設容器高為h公尺，蓋子邊長為a公尺，(1)求a關於h的解析式；(2)設容器的容積為v立方公尺，則當h為何值時，v最大？求出v的最大值(求解本題時，不計容器厚度)
知識依託本題求得體積v的關係式後，應用均值定理可求得最值
例2已知a，b，c是實數，函式f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當－1≤x≤1時|f(x)|≤1
(1)證明 |c|≤1；
(2)證明當－1 ≤x≤1時，|g(x)|≤2；
(3)設a＞0，有－1≤x≤1時， g(x)的最大值為2，求f(x)
知識依託二次函式的有關性質、函式的單調性，絕對值不等式
例3設二次函式f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的兩個根x1、x2滿足0＜x1＜x2＜
(1)當x∈［0，x1時，證明x＜f(x)＜x1；
(2)設函式f(x)的圖象關於直線x=x0對稱，證明 x0＜
鞏固練習
1 定義在r上的奇函式f(x)為增函式，偶函式g(x)在區間［0，+∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設a＞b＞0，給出下列不等式，其中正確不等式的序號是( )
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
abcd ②③
2 下列四個命題中 ①a+b≥2 ②sin2x+≥4 ③設x，y都是正數，若=1，則x+y的最小值是12 ④若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，則|x－y|＜2ε，其中所有真命題的序號是
4 已知二次函式 f(x)=ax2+bx+1(a，b∈r，a＞0)，設方程f(x)=x的兩實數根為x1，x2
(1)如果x1＜2＜x2＜4，設函式f(x)的對稱軸為x=x0，求證x0＞－1；
(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值範圍
6 設函式f(x)定義在r上，對任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且當x＞0時，0＜f(x)＜1
(1)求證 f(0)=1，且當x＜0時，f(x)＞1；
(2)求證 f(x)在r上單調遞減；
(3)設集合a=，集合b=，若a∩b=，求a的取值範圍
7 已知函式f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］，
(1)求b、c的值；
(2)判斷函式f(x)=lgf(x)，當x∈［－1，1］時的單調性，並證明你的結論；
(3)若t∈r，求證 lg≤f(|t－|－|t+|)≤lg
數列與不等式的交匯題型分析及解題策略
【命題趨向】
數列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現，試題還可能涉及到與導數、函式等知識綜合一起考查.主要考查知識數列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關係、等差數列和等比數列、歸納與猜想、數歸納法、比較大小、不等式證明、引數取值範圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應用.
【典例分析】
題型一求有數列參與的不等式恆成立條件下引數問題
求得數列與不等式結合恆成立條件下的引數問題主要兩種策略：(1)若函式f(x)在定義域為d，則當x∈d時，有f(x)≥m恆成立f(x)min≥m；f(x)≤m恆成立f(x)max≤m；(2)利用等差數列與等比數列等數列知識化簡不等式，再通過解不等式解得.
【例1】等比數列的公比q＞1，第17項的平方等於第24項，求使a1＋a2＋…＋an＞＋＋…＋恆成立的正整數n的取值範圍.
【例2】（08·全國ⅱ）設數列的前項和為sn．已知a1＝a，an+1＝sn＋3n，n∈n*．
(ⅰ)設bn＝sn－3n，求數列的通項公式；（ⅱ）若an+1≥an，n∈n*，求a的取值範圍．【點評】 一般地，如果求條件與前n項和相關的數列的通項公式，則可考慮sn與an的關係求解
題型二數列參與的不等式的證明問題
此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴大或縮小、項數的增加與減少等手段達到證明的目的.
【例3】 已知數列是等差數列，其前n項和為sn，a3＝7，s4＝24．(ⅰ)求數列的通項公式；(ⅱ)設p、q都是正整數，且p≠q，證明：sp+q＜(s2p＋s2q)．【點評】 利用差值比較法比較大小的關鍵是對作差後的式子進行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.
【例4】 (08·安徽高考)設數列滿足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈n*，其中c為實數.(ⅰ)證明：an∈[0，1]對任意n∈n*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；(ⅱ)設0＜c＜，證明：
an≥1－(3c)n1，n∈n*；（ⅲ）設0＜c＜，證明：a12＋a22＋…＋an2＞n＋1－，n∈n*.
題型三求數列中的最大值問題
求解數列中的某些最值問題，有時須結合不等式來解決，其具體解法有：(1)建立目標函式，通過不等式確定變數範圍，進而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數列的單調性，然後確定最值；(3)利用條件中的不等式關係確定最值.
【例5】 (08·四川)設等差數列的前項和為sn，若s4≥10，s5≤15，則a4的最大值為______.
【例6】 等比數列的首項為a1＝2002，公比q＝－．(ⅰ)設f(n)表示該數列的前n項的積，求f(n)的表示式；(ⅱ)當n取何值時，f(n)有最大值．
題型四求解探索性問題
數列與不等式中的探索性問題主要表現為存在型，解答的一般策略：先假設所探求物件存在或結論成立，以此假設為前提條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設不成立，從而得到「否定」的結論，即不存在.若推理不出現矛盾，能求得在範圍內的數值或圖形，就得到肯定的結論，即得到存在的結果.
【例7】 已知的前n項和為sn，且an＋sn＝4.(ⅰ)求證：數列是等比數列；(ⅱ)是否存在正整數k，使＞2成立.
【點評】在匯出矛盾時須注意條件「k∈n*」，這是在解答數列問題中易忽視的乙個陷阱.
【例8】 (08·湖北)已知數列和滿足：a1＝λ，an+1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ為實數，n為正整數. （ⅰ）對任意實數λ，證明數列不是等比數列；（ⅱ）試判斷數列是否為等比數列，並證明你的結論；（ⅲ）設0＜a＜b,sn為數列的前n項和.
是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a＜sn＜b?若存在，求λ的取值範圍；若不存在，說明理由.
數列與不等式命題新亮點
例1 把數列一次按第乙個括號乙個數,按第二個括號兩個數,按第三個括號三個數,按第四個括號乙個數…,迴圈分為(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23) …,則第50個括號內各數之和為_____.
點評:恰當的分組,找到各數之間的內在聯絡是解決之道.此外,這種題對觀察能力有較高的要求.
例2 設是由正數構成的等比數列, , ,則( )
例談高中數學不等式證明常用方法
作者 汪毅 學校教育研究 2014年第16期 證明不等式的方法靈活多樣，技巧性強，要依據題設的結構特點 內在聯絡，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維。通過不等式的基本知識 基本方法在代數 三角函式 數列 立體幾何 解析幾何等各部分知識中的應用，深化數學知識間的融匯貫通，從而提高學生分析問...
高中數學不等式證明典型例題
例1 若，證明 且 分析1 用作差法來證明 需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然後比較法證明 解法1 1 當時，因為，所以 2 當時，因為 所以 綜合 1 2 知 分析2 直接作差，然後用對數的性質來去絕對值符號 解法2 作差比較法 因為，所以 例2 設，求證 證明 又 例3 對於任意實數 求證 當...
高中數學競賽講義 不等式的證明
14不等式的證明 不等式在數學中占有重要地位，由於其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結論進行代數變形和化歸，而變形的依據是不等式的性質，不等式的性分類羅列如下 不等式的性質 這是不等式的定義，也是比較法的依據.對乙個不等式進行變形的性質...