例1 若，證明（且）．
分析1 用作差法來證明．需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然後比較法證明．
解法1 （1）當時，
因為，所以 ．
（2）當時，
因為 所以 ．
綜合（1）（2）知．
分析2 直接作差，然後用對數的性質來去絕對值符號．
解法2 作差比較法．
因為，所以．
例2 設，求證：
證明：又∵， ∴.
例3 對於任意實數、，求證（當且僅當時取等號）
證明：∵（當且僅當時取等號）
兩邊同加，
即1）又：∵ （當且僅當時取等號）
兩邊同加
∴2）由（1）和（2）可得（當且僅當時取等號）．
例4 已知、、，，求證
證明：∵
∴ ∵，同理：，。
∴ 例５ 已知，求證：＞0.
證明一：(分析法書寫過程)
為了證明＞0
只需要證明＞
∵∴∴＞0∴＞成立
∴＞0成立
證明二：(綜合法書寫過程)
∵∴∴＞ ＞0
∴＞成立 ∴＞0成立
例6 若，且，求證：
證明：為要證
只需證， 即證，
也就是，即證，即證，
∵，∴，故即有，
又由可得成立，
∴ 所求不等式成立．
例7 若，求證．
證法一：假設，則，
而，故．
∴．從而， ∴．
∴． ∴．
這與假設矛盾，故．
證法二：假設，則，
故，即，即，
這不可能．從而．
證法三：假設，則．
由，得，故．
又，∴． ∴，即．
這不可能，故．
例8 設、為正數，求證．
分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法．
證明：要證，只需證，
即證，化簡得，．
∵， ∴．
∴．∴原不等式成立．
例9 已知，求證．
證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑引數．
∵，∴可設，，其中．
∴．由，故．
而，，故．
例10 設是正整數，求證．
分析：要求乙個項分式的範圍，它的和又求不出來，可以採用「化整為零」的方法，觀察每一項的範圍，再求整體的範圍．
證明：由，得．
當時，；
當時，……當時，．
∴．例11 已知，求證：．
證明：欲證，
只須證．
即要證，
即要證． 即要證，
即要證． 即要證，即．
即要證 （*）
∵，∴（*）顯然成立，
故例12 如果，， ，求證：．
證明：∵
∴．例13 已知，，，求證：在三數中，不可能都大於．
證明：假設三數都大於，
即，，．
又∵，，，
∴，，．
∴ ①
又∵，，．
以上三式相加，即得：
②顯然①與②相矛盾，假設不成立，故命題獲證．
例14 已知、、都是正數，求證：．
證法一：要證，
只需證，
即，移項，得．
由、、為正數，得．
∴原不等式成立．
證法二：∵、、為正數，
．即，故．，．
說明：題中給出的，，，，只因為、、都是正數，形式同算術平均數與幾何平均數定理一樣，不加分析就用算術平均數與幾何平均數定理來求證，問題就不好解決了．
例15 已知，，且．求證：．
證明：令，，且，
則∵，∴，即成立．
例16 已知是不等於1的正數，是正整數，求證．
證明：∵是不等於1的正數，
∴，∴． ①
又． ②
將式①，②兩邊分別相乘得
， ∴．
例17 已知，，， ，且，求證．
證明：要證， 只需證，
只需證．∵，， ，
∴，，， ∴，
∴成立． ∴．
例18 求證．
證明：∵，
∴．例19 在中，角、、的對邊分別為，，，若，求證．
分析：因為涉及到三角形的邊角關係，故可用正弦定理或餘弦定理進行邊角的轉化．
證明：∵，∴．
由餘弦定理得∴，∴
高中數學不等式的證明方法典型例題
一 比較法 所謂比較法，就是通過兩個實數與的差或商的符號 範圍 確定與大小關係的方法，即通過 或，來確定，大小關係的方法，前者為作差法，後者為作商法。例1 已知 求證 分析 兩個多項式的大小比較可用作差法 證明 故得例2 設，求證 分析 對於含有冪指數類的用作商法 證明因為所以而 故二 分析法 從求...
不等式證明典型例題
例1 已知，求證 證明 當且僅當時等號成立 點評在利用差值比較法證明不等式時，常採用配方的恒等變形，以利用實數的性質 例2 已知均為正數，且兩兩不等，求證.分析由於所證不等式兩端都是冪和積的形式，且為正數，可選用商值比較法.證明為不等正數，不失一般性，設，這時，由指數函式的性質可知 所以.即.例3 ...
高中數學不等式證明的常用方法經典例題
關於不等式證明的常用方法 重難點歸納 1 比較法證不等式有作差 商 變形 判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解 配方，判斷過程必須詳細敘述如果作差以後的式子可以整理為關於某乙個變數的二次式，則考慮用判別式法證 2 綜合法是由因導果，而分析法是執果索因 2 不等式證明還有一些常用的方法換元法 放縮法...