總的來說,高考中與不等式有關的大題(主要是證明題)一般常用均值不等式、建構函式後用導數工具解、裂項相消等常見放縮法來解決。
證明數列型不等式,因其思維跨度大、構造性強,需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性,能全面而綜合地考查學生的潛能與後繼學習能力,因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是:通過多角度觀察所給數列通項的結構,深入剖析其特徵,抓住其規律進行恰當地放縮;其放縮技巧主要有以下幾種:
以下的所有放縮法中裂項相消法、均值不等式法放縮、二項分布法放縮以及函式放縮法最常用必須掌握,所以要先看這些方法。其他的方法,如果有精力的話可以了解一下。如果真的掌握不了也足以應付高考。
一、裂項放縮
例1.(1)求的值; (2)求證:.
解析:(1)因為,所以
(2)因為,所以
常用放縮技巧
(1) (2)
(3(4(56(7) (8)
(9(10) (11)
(11)
(12(13(14) (15)
(15例2.(1)求證:
2)求證:
3)求證:
4) 求證:
解析:(1)因為,所以
2) 3)先運用分式放縮法證明出,再結合進行裂項,最後就可以得到答案
(4)首先,所以容易經過裂項得到
再證而由均值不等式知道這是顯然成立的,所以
例3.求證:
解析:一方面:因為,所以
另一方面:
當時, ,當時, ,
當時, ,所以綜上有
例4.(2023年全國一捲) 設函式.數列滿足..設,整數.證明:.
解析:由數學歸納法可以證明是遞增數列,故存在正整數,使,則
,否則若,則由知
, ,因為,
於是例5.已知,求證:.
解析:首先可以證明:
所以要證
只要證:
故只要證,即等價於
,即等價於
而正是成立的,所以原命題成立.
例6.已知, ,求證:.
解析:所以 從而
例7.已知, ,求證:
證明:,因為
,所以所以二、函式放縮
例8.求證:.
解析:先建構函式有,從而
因為 所以
例9.求證:(1)
解析:建構函式,得到,再進行裂項,求和後可以得到答案
函式構造形式:,
例10.求證:
解析:提示:
函式構造形式:
當然本題的證明還可以運用積分放縮
如圖,取函式,
首先:,從而,
取有, ,
所以有, ,…, , ,相加後可以得到:
另一方面,從而有
取有, ,
所以有,所以綜上有
例11.求證:和.
解析:建構函式後即可證明
例12.求證:
解析:,疊加之後就可以得到答案
函式構造形式: (加強命題)
例13.證明:
解析:建構函式,求導,可以得到:
令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14. 已知證明.
解析:,
然後兩邊取自然對數,可以得到
然後運用和裂項可以得到答案)
放縮思路:
。於是,
即注:題目所給條件()為一有用結論,可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用;當然,本題還可用結論來放縮:,即
例15.(2023年廈門市質檢) 已知函式是在上處處可導的函式,若在上恆成立.
()求證:函式上是增函式;
當;已知不等式時恆成立,
求證:解析:(),所以函式上是增函式
()因為上是增函式,所以
兩式相加後可以得到
(3)……相加後可以得到:
所以令,有
所以(方法二)
所以又,所以
例16.(2023年福州市質檢)已知函式若
解析:設函式
函式)上單調遞增,在上單調遞減.
∴的最小值為,即總有
而即令則三、分式放縮
姐妹不等式:和
記憶口訣」小者小,大者大」
解釋:看b,若b小,則不等號是小於號,反之.
例19. 姐妹不等式:和
也可以表示成為
和解析: 利用假分數的乙個性質可得 即
例20.證明:
解析: 運用兩次次分式放縮:
(加1)
加2) 相乘,可以得到:
所以有四、分類放縮
例21.求證:
解析:例22.(2023年全國高中數學聯賽加試改編) 在平面直角座標系中,軸正半軸上的點列與曲線(≥0)上的點列滿足,直線在x軸上的截距為.點的橫座標為,.
(1)證明》4,; (2)證明有,使得對都有<.
解析:(1) 依題設有:,由得:
又直線在軸上的截距為滿足
顯然,對於,有
2)證明:設,則
設,則當時,
。所以,取,對都有:
故有《成立。
例23.(2023年泉州市高三質檢) 已知函式,若的定義域為[-1,0],值域也為[-1,0].若數列滿足,記數列的前項和為,問是否存在正常數a,使得對於任意正整數都有?
並證明你的結論。
解析:首先求出,∵
∴,∵, ,…
,故當時, ,
因此,對任何常數a,設是不小於a的最小正整數,
則當時,必有.
故不存在常數a使對所有的正整數恆成立.
例24.(2023年中學教學參考)設不等式組表示的平面區域為,設內整數座標點的個數為.設,
當時,求證:.
解析:容易得到,所以,要證只要證,因為
,所以原命題得證.
五、迭代放縮
例25. 已知,求證:當時,
解析:通過迭代的方法得到,然後相加就可以得到結論
例26. 設,求證:對任意的正整數k,若k≥n恒有:|sn+k-sn|<
解析:又所以六、借助數列遞推關係
例27.求證:
解析: 設則
,從而,相加後就可以得到
所以 例28. 求證:
解析: 設則
,從而,相加後就可以得到
例29. 若,求證:
解析:所以就有
七、分類討論
例30.已知數列的前項和滿足證明:對任意的整數
,有解析:容易得到,
由於通項中含有,很難直接放縮,考慮分項討論:
當且為奇數時
(減項放縮),於是
當且為偶數時
當且為奇數時(添項放縮)由知由得證。
八、線性規劃型放縮
例31. 設函式.若對一切,,求的最大值。
解析:由知即
由此再由的單調性可以知道的最小值為,最大值為
因此對一切,的充要條件是,
即,滿足約束條件,
由線性規劃得,的最大值為5.
九、均值不等式放縮
例32.設求證
解析: 此數列的通項為,,即
注:應注意把握放縮的「度」:上述不等式右邊放縮用的是均值不等式,若放成則得,就放過「度」了!
根據所證不等式的結構特徵來選取所需要的重要不等式,這裡
其中,等的各式及其變式公式均可供選用。
例33.已知函式,若,且在[0,1]上的最小值為,求證:
解析:例34.已知為正數,且,試證:對每乙個,.
解析: 由得,又,故,而,
令,則=,因為,倒序相加得=,
而,則=,所以,即對每乙個,.
例35.求證
解析: 不等式左=,
原結論成立.
例36.已知,求證:
解析:經過倒序相乘,就可以得到
例37.已知,求證:
解析:其中:,因為
所以從而,所以.
例38.若,求證:.
解析:因為當時, ,所以,所以,當且僅當時取到等號.
所以所以所以
例39.已知,求證:.
解析:.
例40.已知函式f(x)=x2-(-1)k·2lnx(k∈n*).k是奇數, n∈n*時,
求證: [f』(x)]n-2n-1·f』(xn)≥2n(2n-2).
解析: 由已知得,
(1)當n=1時,左式=右式=0.∴不等式成立.
高考放縮法技巧全總結
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