高考數學備考之一放縮技巧
證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛能與後繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特徵，抓住其規律進行恰當地放縮；其放縮技巧主要有以下幾種：
一、裂項放縮
例1.(1)求的值; (2)求證:.
解析:(1)因為,所以
(2)因為,所以
奇巧積累:(1) (2)
(3(4(56(7) (8)
(9(10) (11)
(11)
(12(13(14) (15)
(15例2.(1)求證:
(2)求證: (3)求證:
(4) 求證：
解析:(1)因為,所以
(2)(3)先運用分式放縮法證明出,再結合進行裂項,最後就可以得到答案
(4)首先,所以容易經過裂項得到
再證而由均值不等式知道這是顯然成立的，
所以例3.求證:
解析: 一方面: 因為,所以
另一方面:
當時, ,當時, ,
當時, ,
所以綜上有
例4.(2023年全國一捲)設函式.數列滿足..
設，整數.證明:.
解析: 由數學歸納法可以證明是遞增數列,
故若存在正整數, 使, 則,
若,則由知, ,
因為,於是
例5.已知,求證:.
解析:首先可以證明:
所以要證
只要證:
故只要證,
即等價於,
即等價於而正是成立的,所以原命題成立.
例6.已知, ,求證:.
解析:所以 從而
例7.已知, ,求證:
證明:,
因為 ,所以
所以二、函式放縮
例8.求證：.
解析:先建構函式有,從而
cause
所以 例9.求證:(1)
解析:建構函式,得到,再進行裂項,求和後可以得到答案
函式構造形式:,
例10.求證:
解析:提示:
函式構造形式:
當然本題的證明還可以運用積分放縮
如圖,取函式,
首先:,從而,
取有, ,
所以有, ,…, , ,相加後可以得到:
另一方面,從而有
取有, ,
所以有,所以綜上有
例11.求證:和.解析:建構函式後即可證明
例12.求證: 解析:,疊加之後就可以得到答案
函式構造形式: (加強命題)
例13.證明:
解析:建構函式,求導,可以得到:
令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14. 已知證明.
解析:,
然後兩邊取自然對數,可以得到
然後運用和裂項可以得到答案)
放縮思路：
。於是，
即注：題目所給條件（）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論來放縮：，即
例16.(2023年福州市質檢)已知函式若
解析:設函式
∴函式）上單調遞增，在上單調遞減.∴的最小值為，即總有
而即令則例15.(2023年廈門市質檢) 已知函式是在上處處可導的函式,若在上恆成立.
()求證：函式上是增函式； ()當；
已知不等式時恆成立，
求證：解析:(),所以函式上是增函式
()因為上是增函式,所以
兩式相加後可以得到
(3)……相加後可以得到:
所以令,有
所以(方法二)
所以又,所以
三、分式放縮
姐妹不等式:和
記憶口訣」小者小,大者大」
解釋:看b,若b小,則不等號是小於號,反之.
例19. 姐妹不等式:和
也可以表示成為
和解析: 利用假分數的乙個性質可得 即
例20.證明:
解析: 運用兩次次分式放縮:
(加1)
加2) 相乘,可以得到:
所以有四、分類放縮
例21.求證:
解析:例22.(2023年全國高中數學聯賽加試改編) 在平面直角座標系中,軸正半軸上的點列與曲線（≥0）上的點列滿足，直線在x軸上的截距為.點的橫座標為,.
(1)證明》4，; (2)證明有，使得對都有<.
解析:(1) 依題設有：，由得：
又直線在軸上的截距為滿足
顯然，對於，有
2)證明：設，則
設，則當時，
。所以，取，對都有：
故有《成立。
例23.(2023年泉州市高三質檢) 已知函式，若的定義域為[－1，0]，值域也為[－1，0].若數列滿足，記數列的前項和為，問是否存在正常數a，使得對於任意正整數都有？
並證明你的結論。
解析:首先求出,∵
∴,∵, ,…
,故當時, ,
因此，對任何常數a，設是不小於a的最小正整數，
則當時,必有.
故不存在常數a使對所有的正整數恆成立.
例24.(2023年中學教學參考)設不等式組表示的平面區域為,
設內整數座標點的個數為.設, 當時,求證:.
解析:容易得到,所以,要證只要證,因為,所以原命題得證
五、迭代放縮
例25. 已知,求證:當時,
解析:通過迭代的方法得到,然後相加就可以得到結論
例26. 設,求證:對任意的正整數k,若k≥n恒有:|sn+k－sn|<
解析:又所以六、借助數列遞推關係
例27.求證:
解析: 設則
,從而,相加後就可以得到
所以例28. 求證:
解析: 設則
,從而,相加後就可以得到
例29. 若,求證:
解析:所以就有
七、分類討論
例30.已知數列的前項和滿足證明：對任意的整數，有
解析:容易得到,
由於通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：
當且為奇數時
（減項放縮），於是
當且為偶數時
當且為奇數時（添項放縮）由知由得證。
八、線性規劃型放縮
例31. 設函式.若對一切，，求的最大值。
解析:由知即
由此再由的單調性可以知道的最小值為，最大值為
因此對一切，的充要條件是， 即，滿足約束條件，
由線性規劃得，的最大值為5．
九、均值不等式放縮
例32.設求證
解析: 此數列的通項為，，即
注：應注意把握放縮的「度」：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過「度」了！
根據所證不等式的結構特徵來選取所需要的重要不等式，這裡
其中，等的各式及其變式公式均可供選用。
例33.已知函式，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：
解析:例34.已知為正數，且，試證：對每乙個，.
解析: 由得，又，故，而，
令，則=，因為，倒序相加得=，
而，則=，所以，即對每乙個，.
例35.求證
解析: 不等式左=，
原結論成立.
例36.已知,求證:
解析:經過倒序相乘,就可以得到
例37.已知,求證:
解析:其中:,因為
所以從而,所以.
例38.若,求證:.
解析:因為當時, ,所以,所以,當且僅當時取到等號.
所以所以所以
例39.已知,求證:.
解析:.
例40.已知函式f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈n*).k是奇數, n∈n*時,
求證: [f』(x)]n－2n－1·f』(xn)≥2n(2n－2).
解析: 由已知得，
(1)當n=1時，左式=右式=0.∴不等式成立.
(2), 左式=
令 由倒序相加法得：
所以所以綜上，當k是奇數，時，命題成立
例41. （2023年東北三校）已知函式
1）求函式的最小值，並求最小值小於0時的取值範圍；
2）令求證：
★例42. (2023年江西高考試題)已知函式,.對任意正數,證明：．
解析:對任意給定的, ,由,
若令，則① ,而②
（一）、先證；因為，，，
又由 ，得．所以．
（二）、再證；由①、②式中關於的對稱性，不妨設．則
（ⅰ）、當，則，所以，因為，
，此時．
（ⅱ）、當③，由①得 ,，，
因為所以④
同理得⑤ ，於是⑥
今證明⑦, 因為 ，
只要證 ，即，也即，據③，此為顯然．
因此⑦得證．故由⑥得．
綜上所述，對任何正數，皆有．
例43.求證:
解析:一方面:
(法二)
另一方面:
十、二項放縮
「放縮法」技巧
例談 放縮法 證明不等式的基本策略 1 新增或捨棄一些正項 或負項 例1 已知求證 證明 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就捨去了...
「放縮法」技巧
例談 放縮法 證明不等式的基本策略 近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，而不等式的證明是高中數學中的乙個難點，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用 放縮法 證明不等式的頻率很高，它是思考不等關係的樸素思想和基本出發點,有極大的遷移性,對它的...
數列放縮法技巧
一 裂項放縮 例1.1 求的值 2 求證 解析 1 因為,所以 2 因為,所以 2 證 2 求證 3 求證 4 求證 解析 1 因為,所以 2 3 先運用分式放縮法證明出,再結合進行 裂項,最後就可以得到答案 4 首先,所以容易經過裂項得到 再證而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以 例3.求證 解...