一、裂項放縮
例1.(1)求的值; (2)求證:.
解析:(1)因為,所以
(2)因為,
所以(2)證:
(2)求證:
(3)求證:
(4) 求證：
解析:(1)因為,
所以 (2)
(3)先運用分式放縮法證明出,再結合進行
裂項,最後就可以得到答案
(4)首先,所以容易經過裂項得到
再證而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以
例3.求證:
解析:一方面:因為,所以
另一方面:
當時, ,當時, ,
當時, ,所以綜上有
例4.(2023年全國一捲) 設函式.數列滿足..設，整數.證明:.
解析:由數學歸納法可以證明是遞增數列,故存在正整數,使,則,否則若,則由知
, ,因為,於是
例5.已知,
求證:.
解析:首先可以證明:
所以要證只要證:
故只要證,即等價於
,即等價於而正是成立的,所以原命題成立.
例6.已知, ,求證:.
解析:所以 從而
例7.已知, ,
求證:證明:,因為 ,所以
所以二、函式放縮
例8.求證：.
解析:先建構函式有,從而
因為 所以
例9.求證:(1)
解析:建構函式,得到,再進行裂項,求和後可以得到答案函式構造形式:,
例10.求證:
解析:提示:
函式構造形式:
當然本題的證明還可以運用積分放縮
如圖,取函式,
首先:,從而,
取有, ,
所以有, ,…, , ,相加後可以得到:
另一方面,從而有取有, ,
所以有,所以綜上有
例11.求證:和.
解析:建構函式後即可證明
例12.求證:
解析:,疊加之後就可以得到答案
函式構造形式: (加強命題)
例13.證明:
解析:建構函式,求導,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14. 已知證明.
解析:,然後兩邊取自然對數,可以得
到然後運用和裂項可以得到答案)放縮思路：
。於是，
即注：題目所給條件（）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論來放縮：，即
例15.(2023年廈門市質檢) 已知函式是在上處處可導的函式,若在上恆成立. ()求證：函式上是增函式；
()當；
()已知不等式時恆成立，
求證：解析:(),所以函式上是增函式
()因為上是增函式,所以
兩式相加後可以得到
(3)……相加後可以得到:
所以令,有所以(方法二)
所以又,
所以例16.(2023年福州市質檢)已知函式若
解析:設函式
∴函式）上單調遞增，在上單調遞減.
∴的最小值為，即總有
而即令則例17. ⑴設函式，求的最小值；
⑵設正數滿足，證明 ．
解析:對函式求導數：
於是當在區間是減函式，
當在區間是增函式.
所以時取得最小值，，
（ⅱ）證法一：用數學歸納法證明.
（i）當n=1時，由（ⅰ）知命題成立.
（ii）假定當時命題成立，即若正數，
則當時，若正數令
則為正數，且
由歸納假定知
①同理，由可得
②綜合①、②兩式
即當時命題也成立.
根據（i）、（ii）可知對一切正整數n命題成立.
證法二：
令函式利用（ⅰ）知，當
對任意. ①
下面用數學歸納法證明結論.
（i）當n=1時，由（i）知命題成立.
（ii）設當n=k時命題成立，即若正數
由①得到
由歸納法假設
即當時命題也成立.
所以對一切正整數n命題成立.
例18. 設關於x的方程有兩個實根，且，定義函式若為正實數，證明不等式：.
解析:當上為增函式
,由可知同理可得
又由（ⅰ）知
所以三、分式放縮
姐妹不等式:和
記憶口訣」小者小,大者大」
解釋:看b,若b小,則不等號是小於號,反之.
例19. 姐妹不等式:和也可以表示成為
和解析: 利用假分數的乙個性質可得 即
例20.證明:
解析: 運用兩次次分式放縮:
(加1)
加2) 相乘,可以得到:
所以有四、分類放縮
例21.求證:
解析:例22.(2023年全國高中數學聯賽加試改編) 在平面直角座標系中,軸正半軸上的點列與曲線（≥0）上的點列滿足，直線在x軸上的截距為.點的橫座標為,.
(1)證明》4，; (2)證明有，使得對都有<.
解析:(1) 依題設有：，由得：
,又直線在軸上的截距為滿足
顯然，對於，有
(2)證明：設，則
設，則當時，
。所以，取，對都有：
故有《成立。
例23.(2023年泉州市高三質檢) 已知函式，若的定義域為[－1，0]，值域也為[－1，0].若數列滿足，記數列的前項和為，問是否存在正常數a，使得對於任意正整數都有？
並證明你的結論。
解析:首先求出,∵
∴,∵, ,…
,故當時, ,
因此，對任何常數a，設是不小於a的最小正整數，則當時,必有.
故不存在常數a使對所有的正整數恆成立.
例24.(2023年中學教學參考)設不等式組表示的平面區域為,設內整數座標點的個數
為.設,當時,求證:.
解析:容易得到,所以,要證只要證,因為
,所以原命題得證.
五、迭代放縮
例25. 已知,求證:當時,
解析:通過迭代的方法得到,然後相加就可以得到結論
例26. 設,求證:對任意的正整數k,若k≥n恒有:|sn+k－sn|<
解析:又所以六、借助數列遞推關係
例27.求證:
解析: 設則
,從而,相加後就可以得到
所以例28. 求證:
解析: 設則
,從而,相加後就可以得到
例29. 若,求證:
解析:所以就有
七、分類討論
例30.已知數列的前項和滿足證明：對任意的整數，有
解析:容易得到,
由於通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：
當且為奇數時
（減項放縮），於是
當且為偶數時
當且為奇數時（添項放縮）由知由得證。
八、線性規劃型放縮
例31. 設函式.若對一切，，求的最大值。
解析:由知即
由此再由的單調性可以知道的最小值為，最大值為
因此對一切，的充要條件是，
即，滿足約束條件， 由線性規劃得，的最大值為5．
九、均值不等式放縮
例32.設求證
解析: 此數列的通項為，，即
注：應注意把握放縮的「度」：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過「度」了！
根據所證不等式的結構特徵來選取所需要的重要不等式，這裡
其中，等的各式及其變式公式均可供選用。
例33.已知函式，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：
解析:例34.已知為正數，且，試證：對每乙個，.
解析: 由得，又，故，而，
令，則=，因為，倒序相加得
=，而，
則=，所以，即對每乙個，.
例35.求證
解析: 不等式左
=，原結論成立.
例36.已知,求證:
解析:經過倒序相乘,就可以得到
例37.已知,求證:
解析:其中:,因為
所以從而,所以.
例38.若,求證:.
解析:因為當時, ,
所以,所以,當且僅當時取到等號.
所以所以所以
例39.已知,求證:.
解析:.
例40.已知函式f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈n*).k是奇數, n∈n*時,求證: [f』(x)]n－2n－1·f』(xn)≥2n(2n－2).
解析: 由已知得，
(1)當n=1時，左式=右式=0.∴不等式成立.
(2), 左式=
令由倒序相加法得
所以所以
綜上，當k是奇數，時，命題成立
例41. （2023年東北三校）已知函式
1）求函式的最小值，並求最小值小於0時的取值範圍；
2）令求證：
例42. (2023年江西高考試題)已知函式,.
對任意正數,證明：．
解析:對任意給定的, ,由,
若令，則① ,而②
（一）、先證；因為，，，
又由 ，得．
所以．（二）、再證；由①、②式中關於的對稱性，不妨設．則
（ⅰ）、當，則，所以，因為，
，此時．
（ⅱ）、當③，由①得 ,，，
因為所以④
同理得⑤ ，於是⑥
今證明⑦, 因為 ，
只要證 ，即，也即，據③，此為顯然． 因此⑦得證．故由⑥得．綜上所述，對任何正數，皆有．
例43.求證:
解析:一方面:
(法二)
另一方面:
十、二項放縮
例44. 已知證明
解析:， 即
例45.設，求證：數列單調遞增且
解析: 引入乙個結論：若則（證略）
整理上式得（）以代入（）式得即單調遞增。
以代入（）式得
此式對一切正整數都成立，即對一切偶數有，又因為數列單調遞增，所以對一切正整數有。
注：上述不等式可加強為簡證如下：
利用二項展開式進行部分放縮：
只取前兩項有對通項作如下放縮：
故有上述數列的極限存在，為無理數；同時是下述試題的背景：
已知是正整數，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題）
當然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分數性質、貝努力不等式、甚至構造「分房問題」概率模型、建構函式等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文[1]。
「放縮法」技巧
例談 放縮法 證明不等式的基本策略 1 新增或捨棄一些正項 或負項 例1 已知求證 證明 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就捨去了...
「放縮法」技巧
例談 放縮法 證明不等式的基本策略 近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，而不等式的證明是高中數學中的乙個難點，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用 放縮法 證明不等式的頻率很高，它是思考不等關係的樸素思想和基本出發點,有極大的遷移性,對它的...
放縮法證明數列不等式
1 設數列的前項的和 求首項與通項 設，證明 解 易求 其中n為正整數 所以 2 求證 1 法1 數歸 兩邊都可以 法2 放縮裂項 法3 定積分放縮 2 法1 放縮一 放縮二 放縮三 法2 數歸 加強命題 常用的放縮公式 例3 已知 求證 法1 均值不等式 即證 也即 而 法2 放縮後裂項求和 法3...