例談「放縮法」證明不等式的基本策略
近年來在高考解答題中,常滲透不等式證明的內容,而不等式的證明是高中數學中的乙個難點,它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是,高考中可以用「放縮法」證明不等式的頻率很高,它是思考不等關係的樸素思想和基本出發點, 有極大的遷移性, 對它的運用往往能體現出創造性。「放縮法」它可以和很多知識內容結合,對應變能力有較高的要求。
因為放縮必須有目標,而且要恰到好處,目標往往要從證明的結論考察,放縮時要注意適度,否則就不能同向傳遞。下面結合一些高考試題,例談「放縮」的基本策略,期望對讀者能有所幫助。
1、新增或捨棄一些正項(或負項)
例1、已知求證:
證明:若多項式中加上一些正的值,多項式的值變大,多項式中加上一些負的值,多項式的值變小。由於證明不等式的需要,有時需要捨去或新增一些項,使不等式一邊放大或縮小,利用不等式的傳遞性,達到證明的目的。本題在放縮時就捨去了,從而是使和式得到化簡.
2、先放縮再求和(或先求和再放縮)
例2、函式f(x)=,求證:f(1)+f(2)+…+f(n)>n+.
證明:由f(n)= =1-
得f(1)+f(2)+…+f(n)>
.此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特徵, 先將分子變為常數,再對分母進行放縮,從而對左邊可以進行求和. 若分子, 分母如果同時存在變數時, 要設法使其中之一變為常量,分式的放縮對於分子分母均取正值的分式。
如需放大,則只要把分子放大或分母縮小即可;如需縮小,則只要把分子縮小或分母放大即可。
3、先放縮,後裂項(或先裂項再放縮)
例3、已知an=n ,求證: <3.
證明: =<1+
<1+=
=1+ (-)
=1+1+--<2+<3.
本題先採用減小分母的兩次放縮,再裂項,最後又放縮,有的放矢,直達目標.
4、放大或縮小「因式」;
例4、已知數列滿足求證:
證明 本題通過對因式放大,而得到乙個容易求和的式子,最終得出證明.
5、逐項放大或縮小
例5、設求證:
證明:∵
∴, ∴
本題利用,對中每項都進行了放縮,從而得到可以求和的數列,達到化簡的目的。
6、固定一部分項,放縮另外的項;
例6、求證:
證明:此題採用了從第三項開始拆項放縮的技巧,放縮拆項時,不一定從第一項開始,須根據具體題型分別對待,即不能放的太寬,也不能縮的太窄,真正做到恰倒好處。
7、利用基本不等式放縮
例7、已知,證明:不等式對任何正整數都成立.
證明:要證,只要證.
因為,,
故只要證,
即只要證.
因為,所以命題得證.
本題通過化簡整理之後,再利用基本不等式由放大即可.
8、先適當組合, 排序, 再逐項比較或放縮
例8、.已知i,m、n是正整數,且1<i≤m<n.
(1)證明:nia<mia;(2)證明:(1+m)n>(1+n)m
證明:(1)對於1<i≤m,且a =m·…·(m-i+1),
,由於m<n,對於整數k=1,2,…,i-1,有,
所以(2)由二項式定理有:
(1+m)n=1+cm+cm2+…+cmn,
(1+n)m=1+cn+cn2+…+cnm,
由(1)知mia>nia (1<i≤m<n,而c=
∴micin>nicim(1<m<n
∴m0c=n0c=1,mc=nc=m·n,m2c>n2c,…,
mmc>nmc,mm+1c>0,…,mnc>0,
∴1+cm+cm2+…+cmn>1+cn+c2mn2+…+cnm,
即(1+m)n>(1+n)m成立.
以上介紹了用「放縮法」證明不等式的幾種常用策略,解題的關鍵在於根據問題的特徵選擇恰當的方法,有時還需要幾種方法融為一體。在證明過程中,適當地進行放縮,可以化繁為簡、化難為易,達到事半功倍的效果。但放縮的範圍較難把握,常常出現放縮後得不出結論或得到相反的現象。
因此,使用放縮法時,如何確定放縮目標尤為重要。要想正確確定放縮目標,就必須根據欲證結論,抓住題目的特點。掌握放縮技巧,真正做到弄懂弄通,並且還要根據不同題目的型別,採用恰到好處的放縮方法,才能把題解活,從而培養和提高自己的思維和邏輯推理能力,分析問題和解決問題的能力。
希望大家能夠進一步的了解放縮法的作用,掌握基本的放縮方法和放縮調整手段.
求證證明本題觀察數列的構成規律,採用通項放縮的技巧把一般數列轉化成特殊數列,從而達到簡化證題的目的。
求證 證明
說明:若本題從第二項起放大,則左邊<1+1-<2 ,這使的證明失敗.
例 1 4
分析**用放縮法證明不等式的方法與技巧
放縮法:為放寬或縮小不等式的範圍的方法。常用在多項式中「捨掉一些正(負)項」而使不等式各項之和變小(大),或「在分式中放大或縮小分式的分子分母」,或「在乘積式中用較大(較小)因式代替」等效法,而達到其證題目的。
所謂放縮的技巧:即欲證,欲尋找乙個(或多個)中間變數c,使,由a到c叫做「放」,由b到c叫做「縮」。
常用的放縮技巧還有:(1)若(2)
(3)若則(4)(5)(6)或(7)等等。
用放縮法證明下列各題。
例1 求證:
證明:因為所以左邊因為99<100(放大)<所以
例2 (2023年海南理11)若求證:
證明:因為所以因為[因為(放大),所以又所以是增函式],所以,所以
例3 (2023年雲南理1)求證:
證明:(因為)
[又因為(放大)],所以所以
例4 已知求證:
證明:因為
例5 求證:
證明:因為(因為)(放大)所以
例6 (2023年湖南省會考)求證:當時,函式的最小值是當時,函式的最大值是
證明:因為原函式配方得又因為所以(縮小),所以函式y的最小值是。當所以(放大),所以函式y的最大值是
例7 求證:
證明:因為(分母有理化)所以原不等式成立。
例8 (2023年貴州省理21)若求證:
證明:因為而所以所以同理可證(當且僅當時,取等號)。
例9 已知a、b、c分別是乙個三角形的三邊之長,求證:
證明:不妨設據三角形三邊關係定理有:便得所以原不等式成立。
例10 (2023年湖南省理16)求證:
證明:因為又所以原不等式成立。
例11 求證:
證明:因為左邊證畢。
例12 求證
證明:因為所以左邊
注:1、放縮法的理論依據,是不等式的傳遞性,即若則。2、使用放縮法時,「放」、「縮」都不要過頭。
3、放縮法是一種技巧性較強的不等變形,一般用於兩邊差別較大的不等式。常用的有「添舍放縮」和「分式放縮」,都是用於不等式證明中區域性放縮。
「放縮法」技巧
例談 放縮法 證明不等式的基本策略 1 新增或捨棄一些正項 或負項 例1 已知求證 證明 若多項式中加上一些正的值,多項式的值變大,多項式中加上一些負的值,多項式的值變小。由於證明不等式的需要,有時需要捨去或新增一些項,使不等式一邊放大或縮小,利用不等式的傳遞性,達到證明的目的。本題在放縮時就捨去了...
數列放縮法技巧
一 裂項放縮 例1.1 求的值 2 求證 解析 1 因為,所以 2 因為,所以 2 證 2 求證 3 求證 4 求證 解析 1 因為,所以 2 3 先運用分式放縮法證明出,再結合進行 裂項,最後就可以得到答案 4 首先,所以容易經過裂項得到 再證而由均值不等式知道這是顯然成立的,所以 例3.求證 解...
高考放縮法技巧全總結
高考數學備考之一放縮技巧 證明數列型不等式,因其思維跨度大 構造性強,需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性,能全面而綜合地考查學生的潛能與後繼學習能力,因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是 通過多角度觀察所給數列通項的結構,深入剖析其特徵,抓住其規律進行恰...